Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial:
O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais, especialmente a resolução de equações não lineares. Para resolver essa equação, vamos seguir a dica do enunciado e fazer a substituição
. Isso vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma polinomial na variável
, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação original:
Agora, nossa equação ficou:
Essa é uma equação quadrática em termos de
. Para resolver para
, vamos usar a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
A fórmula de Bhaskara para uma equação quadrática
é:
Identificando os coeficientes na nossa equação:
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Vamos simplificar o discriminante:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula:
Agora, temos duas soluções possíveis para
:
Passo 6
Lembrando que
, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Caso 1:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é 1. Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Caso 2:
Reescrevendo:
Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre uma função
, de modo que
, seja solução da equação
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Um campo de forças
é definido no
pela equação
(a) Determine se
é um campo conservativo.
Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo
e prove que as suas componentes verificam: