Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição para transformá-la em uma equação polinomial na variável .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial:
O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais, especialmente a resolução de equações não lineares. Para resolver essa equação, vamos seguir a dica do enunciado e fazer a substituição . Isso vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma polinomial na variável , facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação original:
Agora, nossa equação ficou:
Essa é uma equação quadrática em termos de . Para resolver para , vamos usar a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

A fórmula de Bhaskara para uma equação quadrática é:
Identificando os coeficientes na nossa equação:

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Vamos simplificar o discriminante:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula:
Agora, temos duas soluções possíveis para :

Passo 6

Lembrando que , temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Caso 1:
Isso significa que a derivada de em relação a é 1. Integramos ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Caso 2:
Reescrevendo:
Vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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