Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo e prove que as suas componentes verificam:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial que é o gradiente de uma função de classe (ou seja, uma função que tem derivadas de segunda ordem contínuas). Nosso objetivo é provar que as componentes desse campo vetorial satisfazem a igualdade:

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser um gradiente. Se é o gradiente de uma função escalar , então cada componente de é dada pela derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na igualdade que queremos provar. Primeiro, calculamos :
E, de forma semelhante, calculamos :

Passo 4

Aqui entra um ponto importante da teoria: se uma função é de classe , as derivadas de segunda ordem são contínuas e podem ser trocadas de ordem, ou seja:
Isso é conhecido como o Teorema de Schwarz ou Teorema da Simetria das Derivadas Mistas.

Passo 5

Com isso, podemos concluir que:

Resposta

Então, mostramos que as componentes do campo vetorial , sendo o gradiente de uma função de classe , satisfazem a igualdade:

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