Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo
e prove que as suas componentes verificam:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que é o gradiente de uma função de classe
(ou seja, uma função que tem derivadas de segunda ordem contínuas). Nosso objetivo é provar que as componentes desse campo vetorial satisfazem a igualdade:
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser um gradiente. Se
é o gradiente de uma função escalar
, então cada componente
de
é dada pela derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na igualdade que queremos provar. Primeiro, calculamos
:
E, de forma semelhante, calculamos
:
Passo 4
Aqui entra um ponto importante da teoria: se uma função
é de classe
, as derivadas de segunda ordem são contínuas e podem ser trocadas de ordem, ou seja:
Isso é conhecido como o Teorema de Schwarz ou Teorema da Simetria das Derivadas Mistas.
Passo 5
Com isso, podemos concluir que:
Resposta
Então, mostramos que as componentes do campo vetorial
, sendo o gradiente de uma função de classe
, satisfazem a igualdade:
Exercícios relacionados
Um campo de forças
é definido no
pela equação
(a) Determine se
é um campo conservativo.
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Um campo de forças
é definido no
pela equação
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula que percorre a curva descrita por:
Um campo de forças
radial no plano é da forma
, em que
e
. Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina , pois
.
Dica: defina