Um campo de forças f radial no plano é da forma f(x, y)=f(r) r, em que r=x i+y j e r=|r|. Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina phi(r)=integral^r s f(s) d s, pois partiali phi(r)=phi^prime(r) 1r xi=f(r) xi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de forças radial no plano, dado por f(x, y) = f(r) r, onde r = x i + y j e r = |r|. A matéria envolvida aqui é o conceito de campos conservativos em física e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial que relaciona com ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial phi, ou seja, f = nabla phi. Isso significa que o trabalho realizado pela força ao mover um objeto de um ponto a outro depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

No nosso caso, o campo de forças é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição r. Queremos mostrar que existe uma função potencial phi(r) tal que f = nabla phi. Vamos usar a dica dada: definir phi(r) = integral^r s f(s) , ds.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de phi(r). Primeiro, derivamos phi em relação a r:
phi'(r) = ddr ( integral^r s f(s) , ds ) = r f(r)
Agora, usando a relação entre gradiente e derivadas parciais, temos:
partiali phi(r) = phi'(r) partial rpartial xi = r f(r) cdot xir = f(r) xi
Onde xi representa a componente i-ésima do vetor posição.

Passo 5

Então, o gradiente de phi fica:
nabla phi(r) = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) = ( f(r) x, f(r) y ) = f(r) r
Que é exatamente o campo de forças dado f(x, y) = f(r) r.

Resposta

Portanto, mostramos que o campo de forças f(x, y) = f(r) r é conservativo, já que existe uma função potencial phi(r) = integral^r s f(s) , ds tal que f = nabla phi.

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