Um campo de forças radial no plano é da forma , em que e . Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina , pois .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de forças radial no plano, dado por , onde e . A matéria envolvida aqui é o conceito de campos conservativos em física e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial que relaciona com ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial , ou seja, . Isso significa que o trabalho realizado pela força ao mover um objeto de um ponto a outro depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

No nosso caso, o campo de forças é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição . Queremos mostrar que existe uma função potencial tal que . Vamos usar a dica dada: definir .

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de . Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, usando a relação entre gradiente e derivadas parciais, temos:
Onde representa a componente -ésima do vetor posição.

Passo 5

Então, o gradiente de fica:
Que é exatamente o campo de forças dado .

Resposta

Portanto, mostramos que o campo de forças é conservativo, já que existe uma função potencial tal que .

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Um campo de forças é definido no pela equação
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula que percorre a curva descrita por:
Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo e prove que as suas componentes verificam:
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Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de a , a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios e .
Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere e aonde é dado por
Mostre que