Um campo de forças
radial no plano é da forma
, em que
e
. Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina
, pois
.
Dica: defina
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de forças radial no plano, dado por
, onde
e
. A matéria envolvida aqui é o conceito de campos conservativos em física e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial que relaciona com ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial
, ou seja,
. Isso significa que o trabalho realizado pela força ao mover um objeto de um ponto a outro depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
No nosso caso, o campo de forças é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição
. Queremos mostrar que existe uma função potencial
tal que
. Vamos usar a dica dada: definir
.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, usando a relação entre gradiente e derivadas parciais, temos:
Onde
representa a componente
-ésima do vetor posição.
Passo 5
Então, o gradiente de
fica:
Que é exatamente o campo de forças dado
.
Resposta
Portanto, mostramos que o campo de forças
é conservativo, já que existe uma função potencial
tal que
.
Exercícios relacionados
Um campo de forças
é definido no
pela equação
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula que percorre a curva descrita por:
Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo
e prove que as suas componentes verificam:
Considere o campo de força gravitacional (com
) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de
a
, a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios
e
.
Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere
e
aonde
é dado por
Se
Mostre que