Considere o campo de força gravitacional (com ) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de a , a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o trabalho realizado por uma força gravitacional, quando uma partícula se move de um ponto para outro ponto , depende só das distâncias desses pontos à origem, ou seja, dos rádios e . A matéria envolve conceitos de campos de força e trabalho realizado por esses campos. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo de força e como ele pode depender dos pontos inicial e final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula. O trabalho é dado por:
onde é a força e é um elemento infinitesimal do caminho que a partícula percorre. No nosso caso, a força gravitacional é definida por:
Passo 3
Agora, vamos notar que essa força é um campo de força conservativo. Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Em campos conservativos, existe uma função potencial tal que:
No nosso caso, podemos encontrar integrando a força. Observando a expressão de , percebemos que:
onde .
Passo 4
Com a função potencial em mãos, o trabalho realizado pela força ao ir de para é a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Substituindo pela expressão que encontramos:
onde e .
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional é , dependendo exclusivamente dos rádios e .