Considere o campo de força gravitacional (com G = m = M = 1 ) definido para todo ponto distinto da origem por:
F = -1 / (x^2 + y^2 + z^2)^(3/2) (x, y, z)
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de (x1, y1, z1) a (x2, y2, z2), a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios R1 = raiz(x1^2 + y1^2 + z1^2) e R2 = raiz(x2^2 + y2^2 + z2^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o trabalho realizado por uma força gravitacional, quando uma partícula se move de um ponto para outro ponto , depende só das distâncias desses pontos à origem, ou seja, dos rádios e . A matéria envolve conceitos de campos de força e trabalho realizado por esses campos. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo de força e como ele pode depender dos pontos inicial e final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula. O trabalho é dado por:
onde é a força e é um elemento infinitesimal do caminho que a partícula percorre. No nosso caso, a força gravitacional é definida por:

Passo 3

Agora, vamos notar que essa força é um campo de força conservativo. Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Em campos conservativos, existe uma função potencial tal que:
No nosso caso, podemos encontrar integrando a força. Observando a expressão de , percebemos que:
onde .

Passo 4

Com a função potencial em mãos, o trabalho realizado pela força ao ir de para é a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Substituindo pela expressão que encontramos:
onde e .

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional é , dependendo exclusivamente dos rádios e .

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