Considere o campo de força gravitacional (com
) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de
a
, a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o trabalho realizado por uma força gravitacional, quando uma partícula se move de um ponto
para outro ponto
, depende só das distâncias desses pontos à origem, ou seja, dos rádios
e
. A matéria envolve conceitos de campos de força e trabalho realizado por esses campos. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo de força e como ele pode depender dos pontos inicial e final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula. O trabalho
é dado por:
onde
é a força e
é um elemento infinitesimal do caminho
que a partícula percorre. No nosso caso, a força gravitacional
é definida por:
Passo 3
Agora, vamos notar que essa força é um campo de força conservativo. Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Em campos conservativos, existe uma função potencial
tal que:
No nosso caso, podemos encontrar
integrando a força. Observando a expressão de
, percebemos que:
onde
.
Passo 4
Com a função potencial em mãos, o trabalho
realizado pela força ao ir de
para
é a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
onde
e
.
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional é
, dependendo exclusivamente dos rádios
e
.