Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere e aonde é dado por
Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto no plano, excluindo o semi-eixo, e estamos usando coordenadas polares onde e , com e . O objetivo é mostrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como está definido no problema. Dependendo dos valores de e , temos diferentes expressões para :
Isso é essencial para garantir que esteja no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular e . Para isso, vamos considerar que , já que as outras condições ajustam apenas o ângulo para diferentes quadrantes, mas a relação principal entre e permanece a mesma.
A derivada de em relação a é . Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Considere o campo de força gravitacional (com ) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de a , a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios e .
Um campo de forças radial no plano é da forma , em que e . Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina , pois .
Considere o campo
definido em todos os pontos .
(a) Mostre que para todo .
Considere o campo
definido em todos os pontos .
(b) Mostre que a não é um gradiente.