Considere o plano sem o semi-eixo
Se (x, y) in T, considere x=r cos theta, y=r sin theta, r>0 e -pi aonde theta(x, y) é dado por
theta=l arctan yx, se x>0 pi2, se x=0, y>0 -pi2, se x=0, y<0 arctan yx-pi, se x<0, y<0 arctan yx+pi, se x<0, y>0
Mostre que
partial thetapartial x=-yx^2+y^2, partial thetapartial y=xx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto (x, y) no plano, excluindo o semi-eixo, e estamos usando coordenadas polares onde x = r cos theta e y = r sin theta, com r > 0 e -pi < theta < pi. O objetivo é mostrar as derivadas parciais de theta em relação a x e y. Para isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como theta está definido no problema. Dependendo dos valores de x e y, temos diferentes expressões para theta:
theta = arctan(yx), & se x > 0 pi2, & se x = 0 e y > 0 -pi2, & se x = 0 e y < 0 arctan(yx) - pi, & se x < 0 e y < 0 arctan(yx) + pi, & se x < 0 e y > 0
Isso é essencial para garantir que theta esteja no intervalo (-pi, pi).

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular partial thetapartial x e partial thetapartial y. Para isso, vamos considerar que theta = arctan(yx), já que as outras condições ajustam apenas o ângulo para diferentes quadrantes, mas a relação principal entre y e x permanece a mesma.
A derivada de arctan(u) em relação a u é 11 + u^2. Usando a regra da cadeia, temos:
partial thetapartial x = ddx arctan(yx) = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2)
Simplificando:
partial thetapartial x = -yx^2 + y^2

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular partial thetapartial y:
partial thetapartial y = ddy arctan(yx) = 11 + (yx)^2 cdot (1x)
Simplificando:
partial thetapartial y = xx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial thetapartial x = -yx^2 + y^2, partial thetapartial y = xx^2 + y^2

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