Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere e aonde é dado por
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto no plano, excluindo o semi-eixo, e estamos usando coordenadas polares onde e , com e . O objetivo é mostrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como está definido no problema. Dependendo dos valores de e , temos diferentes expressões para :
Isso é essencial para garantir que esteja no intervalo .
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular e . Para isso, vamos considerar que , já que as outras condições ajustam apenas o ângulo para diferentes quadrantes, mas a relação principal entre e permanece a mesma.
A derivada de em relação a é . Usando a regra da cadeia, temos: