Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto (x, y) no plano, excluindo o semi-eixo, e estamos usando coordenadas polares onde x = r cos theta e y = r sin theta, com r > 0 e -pi < theta < pi. O objetivo é mostrar as derivadas parciais de theta em relação a x e y. Para isso, vamos precisar entender a relação entre coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como theta está definido no problema. Dependendo dos valores de x e y, temos diferentes expressões para theta:
theta = arctan(yx), & se x > 0 pi2, & se x = 0 e y > 0 -pi2, & se x = 0 e y < 0 arctan(yx) - pi, & se x < 0 e y < 0 arctan(yx) + pi, & se x < 0 e y > 0
Isso é essencial para garantir que theta esteja no intervalo (-pi, pi).
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular partial thetapartial x e partial thetapartial y. Para isso, vamos considerar que theta = arctan(yx), já que as outras condições ajustam apenas o ângulo para diferentes quadrantes, mas a relação principal entre y e x permanece a mesma.
A derivada de arctan(u) em relação a u é 11 + u^2. Usando a regra da cadeia, temos: