Um campo magnético constante tem direção ao longo do eixo z:
. Verifique que cada um das configurações abaixo satisfazem
:
(a)
(b)
;
© em coordenadas cilíndricas
, em que
;
(d) em coordenadas esféricas
, em que
.
(a)
(b)
© em coordenadas cilíndricas
(d) em coordenadas esféricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se, para algumas configurações diferentes de um potencial vetor
, o rotacional de
dá exatamente o campo magnético constante
que está na direção do eixo z. Ou seja, precisamos checar se
para cada caso apresentado. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional de um vetor e aplicar isso em cada configuração dada.
Passo 2
Item (a):
Vamos calcular o rotacional de
:
Nesse caso,
. Então:
-
- As outras derivadas são zero.
Portanto:
Isso confirma que
para essa configuração.
Passo 3
Item (b):
Vamos calcular o rotacional de
:
Primeiro, identifiquemos os componentes:
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Substituindo:
Então:
Mais uma vez, vemos que
.
Passo 4
Item ©: Em coordenadas cilíndricas,
, onde
Para calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula:
No caso,
, então:
Calculando cada termo:
-
- As outras derivadas são zero.
Então:
Como
, temos
, confirmando a igualdade.
Passo 5
Item (d): Em coordenadas esféricas,
, onde
O rotacional em coordenadas esféricas é um pouco mais complexo, mas vamos focar nos componentes relevantes. A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
No nosso caso:
Calculando os termos:
Substituindo na fórmula do rotacional:
No sistema de coordenadas esféricas,
, então:
Assim, confirmamos que
também para essa configuração.
Resposta
Todas as configurações apresentadas para o potencial vetor
satisfazem a equação
, confirmando que elas produzem o campo magnético constante
.
Exercícios relacionados
Um solenóide de seção quadrada de lado
, percorrido por uma corrente
, possui
espiras por unidade de comprimento. Calcule o campo magnético ao longo do eixo do solenóide. Faça o mesmo para um solenóide cujas espiras sejam círculos de raio
.
Determine o módulo da força resultante
, localizada nas coordenadas (
), devida às partículas
e
, localizadas nas coordenadas
e
, respectivamente. As cargas nas partículas são
,
e
. (a distância entre as partículas é medida em metros)
a. 18 N
b.
© d.
e.
a. 18 N
b.
©
Um anel uniforme de carga, com carga
e raio
, está centrado na origem e contido no plano
. O campo
em
, é dado por:
a.
b. c. infinito
d. e. zero
Limpar minha escolha
a.
b.
d.
Limpar minha escolha
Um fio condutor retilíneo, infinito, percorrido por uma corrente
é envolto coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio
, também percorrida por uma corrente
, mas em sentido oposto. Determine o potencial vetor e o campo magnético para este sistema de correntes.