Um campo magnético constante tem direção ao longo do eixo z:
. Verifique que cada um das configurações abaixo satisfazem
:
(a)
(b)
;
© em coordenadas cilíndricas
, em que
;
(d) em coordenadas esféricas
, em que
.
(a)
(b)
© em coordenadas cilíndricas
(d) em coordenadas esféricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se, para algumas configurações diferentes de um potencial vetor
, o rotacional de
dá exatamente o campo magnético constante
que está na direção do eixo z. Ou seja, precisamos checar se
para cada caso apresentado. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional de um vetor e aplicar isso em cada configuração dada.
Passo 2
Item (a):
Vamos calcular o rotacional de
:
Nesse caso,
. Então:
-
- As outras derivadas são zero.
Portanto:
Isso confirma que
para essa configuração.
Passo 3
Item (b):
Vamos calcular o rotacional de
:
Primeiro, identifiquemos os componentes:
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Substituindo:
Então:
Mais uma vez, vemos que
.
Passo 4
Item ©: Em coordenadas cilíndricas,
, onde
Para calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula:
No caso,
, então:
Calculando cada termo:
-
- As outras derivadas são zero.
Então:
Como
, temos
, confirmando a igualdade.
Passo 5
Item (d): Em coordenadas esféricas,
, onde
O rotacional em coordenadas esféricas é um pouco mais complexo, mas vamos focar nos componentes relevantes. A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
No nosso caso:
Calculando os termos:
Substituindo na fórmula do rotacional:
No sistema de coordenadas esféricas,
, então:
Assim, confirmamos que
também para essa configuração.
Resposta
Todas as configurações apresentadas para o potencial vetor
satisfazem a equação
, confirmando que elas produzem o campo magnético constante
.