Um campo magnético constante tem direção ao longo do eixo z: B=B k. Verifique que cada um das configurações abaixo satisfazem B=nabla times A :
(a) A=x B j
(b) A=12(x B j-y B i);
© em coordenadas cilíndricas A=12 r B varphi, em que r^2=x^2+y^2;
(d) em coordenadas esféricas A=12 r sin theta B varphi, em que r^2=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se, para algumas configurações diferentes de um potencial vetor A, o rotacional de A dá exatamente o campo magnético constante B = B k que está na direção do eixo z. Ou seja, precisamos checar se B = nabla times A para cada caso apresentado. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional de um vetor e aplicar isso em cada configuração dada.

Passo 2

Item (a): A = x B j
Vamos calcular o rotacional de A:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) i + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Nesse caso, A = (0, xB, 0). Então:
  • partial Aypartial x = partial (xB)partial x = B
  • As outras derivadas são zero.
Portanto:
nabla times A = (0 - 0) i + (0 - 0) j + (B - 0) k = B k
Isso confirma que B = nabla times A para essa configuração.

Passo 3

Item (b): A = 12(x B j - y B i)
Vamos calcular o rotacional de A:
Primeiro, identifiquemos os componentes:
  • Ax = -12 y B
  • Ay = 12 x B
  • Az = 0
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) i + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Substituindo:
  • partial Aypartial x = partialpartial x ( 12 x B ) = 12 B
  • partial Axpartial y = partialpartial y ( -12 y B ) = -12 B
Então:
nabla times A = 0 i + 0 j + ( 12 B - (-12 B) ) k = B k
Mais uma vez, vemos que B = nabla times A.

Passo 4

Item ©: Em coordenadas cilíndricas, A = 12 r B varphi, onde r^2 = x^2 + y^2
Para calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula:
nabla times A = ( 1r partial Azpartial varphi - partial Avarphipartial z ) r + ( partial Arpartial z - partial Azpartial r ) varphi + 1r ( partial (r Avarphi)partial r - partial Arpartial varphi ) z
No caso, A = ( 0, 12 r B, 0 ), então:
  • Ar = 0
  • Avarphi = 12 r B
  • Az = 0
Calculando cada termo:
  • partial (r Avarphi)partial r = partialpartial r ( r cdot 12 r B ) = partialpartial r ( 12 r^2 B ) = r B
  • As outras derivadas são zero.
Então:
nabla times A = 0 r + 0 varphi + 1r cdot r B z = B z
Como z = k, temos B = B k, confirmando a igualdade.

Passo 5

Item (d): Em coordenadas esféricas, A = 12 r sin theta B varphi, onde r^2 = x^2 + y^2 + z^2
O rotacional em coordenadas esféricas é um pouco mais complexo, mas vamos focar nos componentes relevantes. A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
nabla times A = 1r sin theta [ partialpartial theta (Avarphi sin theta) - partial Athetapartial varphi ] r + 1r [ 1sin theta partial Arpartial varphi - partialpartial r (r Avarphi) ] theta + 1r [ partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta ] varphi
No nosso caso:
  • Ar = 0
  • Atheta = 0
  • Avarphi = 12 r sin theta B
Calculando os termos:
  • partialpartial theta (Avarphi sin theta) = partialpartial theta ( 12 r sin^2 theta B ) = 12 r cdot 2 sin theta cos theta B = r sin theta cos theta B
  • partialpartial r (r Avarphi) = partialpartial r ( r cdot 12 r sin theta B ) = partialpartial r ( 12 r^2 sin theta B ) = r sin theta B
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times A = 1r sin theta cdot r sin theta cos theta B r + 1r cdot (-r sin theta B) theta + 0 varphi = cos theta B r - sin theta B theta
No sistema de coordenadas esféricas, cos theta r - sin theta theta = z, então:
nabla times A = B z = B k
Assim, confirmamos que B = nabla times A também para essa configuração.

Resposta

Todas as configurações apresentadas para o potencial vetor A satisfazem a equação B = nabla times A, confirmando que elas produzem o campo magnético constante B = B k.

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