Um campo magnético constante tem direção ao longo do eixo z: . Verifique que cada um das configurações abaixo satisfazem :
(a)
(b) ;
© em coordenadas cilíndricas , em que ;
(d) em coordenadas esféricas , em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se, para algumas configurações diferentes de um potencial vetor , o rotacional de dá exatamente o campo magnético constante que está na direção do eixo z. Ou seja, precisamos checar se para cada caso apresentado. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional de um vetor e aplicar isso em cada configuração dada.

Passo 2

Item (a):
Vamos calcular o rotacional de :
Nesse caso, . Então:
  • As outras derivadas são zero.
Portanto:
Isso confirma que para essa configuração.

Passo 3

Item (b):
Vamos calcular o rotacional de :
Primeiro, identifiquemos os componentes:
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Substituindo:
Então:
Mais uma vez, vemos que .

Passo 4

Item ©: Em coordenadas cilíndricas, , onde
Para calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula:
No caso, , então:
Calculando cada termo:
  • As outras derivadas são zero.
Então:
Como , temos , confirmando a igualdade.

Passo 5

Item (d): Em coordenadas esféricas, , onde
O rotacional em coordenadas esféricas é um pouco mais complexo, mas vamos focar nos componentes relevantes. A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
No nosso caso:
Calculando os termos:
Substituindo na fórmula do rotacional:
No sistema de coordenadas esféricas, , então:
Assim, confirmamos que também para essa configuração.

Resposta

Todas as configurações apresentadas para o potencial vetor satisfazem a equação , confirmando que elas produzem o campo magnético constante .

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a.
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