Um fio condutor retilíneo, infinito, percorrido por uma corrente
é envolto coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio
, também percorrida por uma corrente
, mas em sentido oposto. Determine o potencial vetor e o campo magnético para este sistema de correntes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio condutor infinito que transporta uma corrente elétrica
em uma direção e, ao redor dele, uma casca cilíndrica de raio
que também carrega uma corrente
, mas no sentido oposto. Nosso objetivo é encontrar o potencial vetor
e o campo magnético
para esse sistema de correntes. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Ampère e a definição do potencial vetor no contexto do eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo magnético
gerado pelo fio e pela casca cilíndrica. Como os sistemas são coaxiais e simétricos, podemos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético ao redor de correntes simétricas.
Passo 3
A Lei de Ampère é dada por:
onde
é a corrente total enclausurada pelo caminho de integração. Vamos considerar três regiões diferentes para resolver o campo magnético:
- Dentro do fio (r < 0): Aqui, a corrente total é zero, pois não há fio.
- Dentro do fio condutor (0 < r < a): A corrente é
, mas a casca carrega , então a corrente total no interior é . - Fora da casca (r > a): As correntes
e se cancelam, então .
Passo 4
Para cada região, aplicamos a Lei de Ampère:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o potencial vetor
. Sabemos que
. Para sistemas com simetria cilíndrica, podemos assumir que
tem apenas componente azimutal (
). Então, podemos escrever:
Vamos usar a relação entre
e
no sistema cilíndrico:
Como
só tem componente
e não depende de
nem de
, a expressão para
simplifica para:
Comparamos isso com o campo magnético encontrado anteriormente.
Passo 6
Vamos integrar para encontrar
:
- Para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Integrando:
Como
deve ser finito em
,
. Então:
- Para
:
Multiplicando por
:
Para manter a continuidade em
, a constante deve ser a mesma de dentro:
Resposta
O potencial vetor
e o campo magnético
para o sistema de correntes são dados por: