Um fio condutor retilíneo, infinito, percorrido por uma corrente I é envolto coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio a, também percorrida por uma corrente I, mas em sentido oposto. Determine o potencial vetor e o campo magnético para este sistema de correntes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio condutor infinito que transporta uma corrente elétrica I em uma direção e, ao redor dele, uma casca cilíndrica de raio a que também carrega uma corrente I, mas no sentido oposto. Nosso objetivo é encontrar o potencial vetor A e o campo magnético B para esse sistema de correntes. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Ampère e a definição do potencial vetor no contexto do eletromagnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo magnético B gerado pelo fio e pela casca cilíndrica. Como os sistemas são coaxiais e simétricos, podemos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético ao redor de correntes simétricas.

Passo 3

A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde Ienc é a corrente total enclausurada pelo caminho de integração. Vamos considerar três regiões diferentes para resolver o campo magnético:
  1. Dentro do fio (r < 0): Aqui, a corrente total é zero, pois não há fio.
  2. Dentro do fio condutor (0 < r < a): A corrente é I, mas a casca carrega -I, então a corrente total no interior é Ienc = I.
  3. Fora da casca (r > a): As correntes I e -I se cancelam, então Ienc = 0.

Passo 4

Para cada região, aplicamos a Lei de Ampère:
  1. Para r < 0:
oint B cdot dl = 0 implies B = 0
  1. Para 0 < r < a:
B cdot 2pi r = mu0 I implies B = mu0 I2pi r
  1. Para r > a:
oint B cdot dl = 0 implies B = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar o potencial vetor A. Sabemos que B = nabla times A. Para sistemas com simetria cilíndrica, podemos assumir que A tem apenas componente azimutal ( phi). Então, podemos escrever:
A = Aphi(r) ephi
Vamos usar a relação entre B e A no sistema cilíndrico:
Br = 1r partial Azpartial phi - partial Aphipartial z = 0
Bphi = partial Arpartial z - partial Azpartial r = 0
Bz = 1r ( partial (r Aphi)partial r - partial Arpartial phi )
Como A só tem componente phi e não depende de z nem de phi, a expressão para Bz simplifica para:
Bz = 1r d (r Aphi)d r
Comparamos isso com o campo magnético encontrado anteriormente.

Passo 6

Vamos integrar para encontrar Aphi:
  1. Para 0 < r < a:
B = mu0 I2pi r = 1r d (r Aphi)d r
Multiplicando ambos os lados por r:
mu0 I2pi = d (r Aphi)d r
Integrando:
r Aphi = mu0 I2pi r + C
Como Aphi deve ser finito em r=0, C=0. Então:
Aphi = mu0 I2pi
  1. Para r > a:
B = 0 = 1r d (r Aphi)d r
Multiplicando por r:
d (r Aphi)d r = 0 implies r Aphi = constante
Para manter a continuidade em r = a, a constante deve ser a mesma de dentro:
Aphi = mu0 I a2pi r^2

Resposta

O potencial vetor A e o campo magnético B para o sistema de correntes são dados por:
A = mu0 I2pi ephi & para 0 < r < a mu0 I a2pi r^2 ephi & para r > a
B = mu0 I2pi r ez & para 0 < r < a 0 & para r > a

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