Um fio condutor retilíneo, infinito, percorrido por uma corrente é envolto coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio , também percorrida por uma corrente , mas em sentido oposto. Determine o potencial vetor e o campo magnético para este sistema de correntes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio condutor infinito que transporta uma corrente elétrica em uma direção e, ao redor dele, uma casca cilíndrica de raio que também carrega uma corrente , mas no sentido oposto. Nosso objetivo é encontrar o potencial vetor e o campo magnético para esse sistema de correntes. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Ampère e a definição do potencial vetor no contexto do eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo magnético gerado pelo fio e pela casca cilíndrica. Como os sistemas são coaxiais e simétricos, podemos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético ao redor de correntes simétricas.
Passo 3
A Lei de Ampère é dada por:
onde é a corrente total enclausurada pelo caminho de integração. Vamos considerar três regiões diferentes para resolver o campo magnético:
Dentro do fio (r < 0): Aqui, a corrente total é zero, pois não há fio.
Dentro do fio condutor (0 < r < a): A corrente é , mas a casca carrega , então a corrente total no interior é .
Fora da casca (r > a): As correntes e se cancelam, então .
Passo 4
Para cada região, aplicamos a Lei de Ampère:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos encontrar o potencial vetor . Sabemos que . Para sistemas com simetria cilíndrica, podemos assumir que tem apenas componente azimutal (). Então, podemos escrever:
Vamos usar a relação entre e no sistema cilíndrico:
Como só tem componente e não depende de nem de , a expressão para simplifica para:
Comparamos isso com o campo magnético encontrado anteriormente.
Passo 6
Vamos integrar para encontrar :
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Integrando:
Como deve ser finito em , . Então:
Para :
Multiplicando por :
Para manter a continuidade em , a constante deve ser a mesma de dentro:
Resposta
O potencial vetor e o campo magnético para o sistema de correntes são dados por: