O campo magnético de uma onda eletromagnética plana é descrito por
B=B0 sen[(10 rad / m) y+(3 times 10^9 rad / s) t] k
onde k é o vetor unitário na direção z. Os vetores unitários nas direções x e y são imath e jmath, respectivamente.
Em qual direção e sentido essa onda se propaga? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre uma onda eletromagnética plana e queremos descobrir em qual direção e sentido ela está se propagando. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como o vetor k (vetor de onda) e a relação entre os componentes espaciais e temporais da onda. Vamos precisar entender como identificar a direção de propagação a partir da equação que descreve o campo magnético da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do campo magnético dada:
B = B0 sin[(10 , rad/m) , y + (3 times 10^9 , rad/s) t] k
Aqui, $ B_0 $ é a amplitude do campo magnético, $ y $ é a coordenada espacial na direção y, $ t $ é o tempo, e $ \hat{k} $ indica que o campo magnético está na direção z.

Passo 3

Em ondas eletromagnéticas planas, a direção de propagação está relacionada ao vetor de onda $ \vec{k} $ presente na expressão seno ou cosseno. A forma geral de uma onda que se propaga é:
k
Onde:
  • $ \vec{k} $ é o vetor de onda, que aponta na direção de propagação.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \vec{r} $ é o vetor posição.
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 4

Comparando com a equação do exercício, vemos que o argumento do seno é:
(10 , rad/m) , y + (3 times 10^9 , rad/s) t
Isso pode ser reescrito como:
k cdot r + omega t
Observamos que, ao contrário da forma padrão $ \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t $, o sinal do termo temporal é positivo. Isso indica que a onda está se propagando na direção oposta ao vetor $ \vec{k} $.

Passo 5

Agora, identificamos os componentes do vetor $ \vec{k} $. Na expressão:
k
Isso implica que $ \vec{k} = 10 , \hat{j} $, já que o termo está multiplicando y, a direção y é representada por $ \hat{j} $.

Passo 6

Como o sinal do termo temporal é positivo, a direção de propagação é oposta ao vetor $ \vec{k} $. Portanto, a onda se propaga na direção oposta a $ \hat{j} $, que é na direção negativa de y, ou seja, na direção $ -\hat{j} $.

Resposta

A onda se propaga ao longo do eixo y na direção negativa, ou seja, na direção -jmath.

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