O campo magnético de uma onda eletromagnética plana é descrito por
B=B0 sen[(10 rad / m) y+(3 times 10^9 rad / s) t] k
onde k é o vetor unitário na direção z. Os vetores unitários nas direções x e y são imath e jmath, respectivamente.
Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de c, B0 e mu0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma onda eletromagnética plana com um campo magnético dado, e precisamos encontrar o vetor de Poynting associado a essa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam em uma onda eletromagnética e como calcular o vetor de Poynting usando esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda. O campo magnético é dado por:
B = B0 sin[(10 , rad/m) , y + (3 times 10^9 , rad/s) t] k
Aqui, $ B_0 $ é a amplitude do campo magnético, e a função seno descreve a variação da onda em função das coordenadas $ y $ e do tempo $ t $.

Passo 3

Sabemos que em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda. Além disso, a amplitude do campo elétrico está relacionada à do campo magnético pela equação:
E
onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo ($ c \approx 3 \times 10^{8} , m/s $).

Passo 4

Vamos determinar a direção do campo elétrico $ \vec{E} $. Como $ \vec{B} $ está na direção $ \hat{k} $ (eixo $ z $), e a dependência espacial da onda é na direção $ y $, o campo elétrico estará na direção $ x $ ($ \hat{\imath} $). Assim, podemos escrever:
E

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do vetor de Poynting $ \vec{S} $, que representa o fluxo de energia transportado pela onda eletromagnética:
S
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_{0} \approx 4\pi \times 10^{-7} , H/m $).

Passo 6

Substituindo $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ nas expressões, temos:
E

Passo 7

Calculando o produto vetorial $ \hat{\imath} \times \hat{k} = -\hat{\jmath} $, obtemos:
imath times k = -jmath

Passo 8

Substituindo $ E_{0} = c B_{0} $ na expressão acima:
E0 = c B0

Passo 9

Simplificando a expressão, a direção do vetor de Poynting está na direção de propagação da onda. Como a função seno tem o argumento $ +ky $, isso indica que a onda está se propagando na direção negativa de $ y $, portanto o vetor de Poynting aponta para $ -\hat{\jmath} $.

Passo 10

Finalmente, expressando o vetor de Poynting em termos de $ c $, $ B_{0} $ e $ \mu_{0} $, temos:
c

Resposta

O vetor de Poynting associado à onda eletromagnética é:
S = -c B0^2mu0 sin^2(10, y + 3 times 10^9 t) jmath

Exercícios relacionados