O campo magnético de uma onda eletromagnética plana é descrito por
onde
é o vetor unitário na direção z. Os vetores unitários nas direções x e y são
e
, respectivamente.
Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de
e
.
Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma onda eletromagnética plana com um campo magnético dado, e precisamos encontrar o vetor de Poynting associado a essa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam em uma onda eletromagnética e como calcular o vetor de Poynting usando esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda. O campo magnético é dado por:
Aqui, $ B_0 $ é a amplitude do campo magnético, e a função seno descreve a variação da onda em função das coordenadas $ y $ e do tempo $ t $.
Passo 3
Sabemos que em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda. Além disso, a amplitude do campo elétrico está relacionada à do campo magnético pela equação:
onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo ($ c \approx 3 \times 10^{8} , m/s $).
Passo 4
Vamos determinar a direção do campo elétrico $ \vec{E} $. Como $ \vec{B} $ está na direção $ \hat{k} $ (eixo $ z $), e a dependência espacial da onda é na direção $ y $, o campo elétrico estará na direção $ x $ ($ \hat{\imath} $). Assim, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do vetor de Poynting $ \vec{S} $, que representa o fluxo de energia transportado pela onda eletromagnética:
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_{0} \approx 4\pi \times 10^{-7} , H/m $).
Passo 6
Substituindo $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ nas expressões, temos:
Passo 7
Calculando o produto vetorial $ \hat{\imath} \times \hat{k} = -\hat{\jmath} $, obtemos:
Passo 8
Substituindo $ E_{0} = c B_{0} $ na expressão acima:
Passo 9
Simplificando a expressão, a direção do vetor de Poynting está na direção de propagação da onda. Como a função seno tem o argumento $ +ky $, isso indica que a onda está se propagando na direção negativa de $ y $, portanto o vetor de Poynting aponta para $ -\hat{\jmath} $.
Passo 10
Finalmente, expressando o vetor de Poynting em termos de $ c $, $ B_{0} $ e $ \mu_{0} $, temos:
Resposta
O vetor de Poynting associado à onda eletromagnética é: