Um grande balde cilíndrico com área de base A e altura H está cheio de água. Um pequeno orifício na área a é feito no fundo do balde para que a água comece a vazar. Quanto tempo leva para o balde ficar vazio?

Passo 1

Então, temos um balde cilíndrico grande com área de base e altura cheio de água. Fazemos um pequeno furo na parte de baixo para a água começar a sair. Queremos descobrir quanto tempo vai levar para o balde esvaziar completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao escoamento de fluidos e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Lei de Torricelli, que nos dá a velocidade com que a água sai pelo orifício. Essa lei diz que a velocidade v = raiz2gh da água é igual à raiz quadrada de , onde é a aceleração da gravidade e é a altura da coluna de água acima do orifício. A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa velocidade com a taxa de saída de água. A velocidade com que a água sai nos dá a variação da altura da água no balde ao longo do tempo. Vamos considerar que a área do balde é e a do orifício é .

Passo 4

A vazão Q = a cdot v = a cdot raiz2gh (volume por tempo) da água saindo é a área do orifício vezes a velocidade:
Q = A cdot dhdt
Essa vazão também é igual à variação do volume no balde, que é a área do balde vezes a variação da altura:
A cdot dhdt = a cdot raiz2gh
Então, podemos igualar as duas expressões:

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar. Primeiro, isolamos dhdt = aA cdot raiz2gh :
dhraizh = a raiz2gA cdot dt
Rearranjando para separar integralH^0 dhraizh = a raiz2gA integral0^T dt e :
Agora, integramos ambos os lados. Integramos de a e de ao tempo total :

Passo 6

Resolvendo as integrais:
2raizh g|H^0 = a raiz2gA cdot T
2(0 - raizH) = a raiz2gA cdot T
-2raizH = a raiz2gA cdot T
Multiplicando ambos os lados por -1:
2raizH = a raiz2gA cdot T
Isolando T = 2AraizHa raiz2g :
T = 2Aa cdot raizHraiz2g = 2Aa raiz2g cdot raizH
Simplificando:

Resposta

O tempo necessário para o balde esvaziar completamente é:
T = 2Aa raiz2g cdot raizH

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