Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja
o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
c) a maior área que pode ser cercada.
c) a maior área que pode ser cercada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fazenda retangular que precisa ser cercada usando 500 metros de cerca em três lados, já que um dos lados fica junto a um rio. A gente vai trabalhar com o conteúdo de otimização, que envolve encontrar o valor máximo ou mínimo de alguma função. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que relacione os lados do retângulo e depois encontrar a área máxima possível.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: comprimento de cada lado perpendicular ao rio. -
: comprimento do lado paralelo ao rio.
Como temos 500 metros de cerca para três lados, podemos montar a seguinte equação para o perímetro:
Isso porque temos dois lados de comprimento
e um lado de comprimento
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a área do retângulo, que é dada por:
Mas temos duas variáveis aí, então precisamos expressar a área em termos de uma só variável. Vamos usar a equação do perímetro para isso.
Passo 4
Da equação do perímetro
, podemos isolar
:
Agora, substituímos isso na fórmula da área:
Passo 5
Agora, temos uma função quadrática para a área:
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Aqui,
e
.
Passo 6
Agora que sabemos que
metros, vamos encontrar
usando a equação do perímetro:
Passo 7
Com
metros e
metros, podemos calcular a área máxima:
Resposta
A maior área que pode ser cercada é de 31.250 metros quadrados.
Exercícios relacionados
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
f)
f)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
b)
b)
Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.