Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
c) a maior área que pode ser cercada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fazenda retangular que precisa ser cercada usando 500 metros de cerca em três lados, já que um dos lados fica junto a um rio. A gente vai trabalhar com o conteúdo de otimização, que envolve encontrar o valor máximo ou mínimo de alguma função. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que relacione os lados do retângulo e depois encontrar a área máxima possível.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • : comprimento de cada lado perpendicular ao rio.
  • : comprimento do lado paralelo ao rio.
Como temos 500 metros de cerca para três lados, podemos montar a seguinte equação para o perímetro:
Isso porque temos dois lados de comprimento e um lado de comprimento .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a área do retângulo, que é dada por:
Mas temos duas variáveis aí, então precisamos expressar a área em termos de uma só variável. Vamos usar a equação do perímetro para isso.

Passo 4

Da equação do perímetro , podemos isolar :
Agora, substituímos isso na fórmula da área:

Passo 5

Agora, temos uma função quadrática para a área:
Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Aqui, e .

Passo 6

Agora que sabemos que metros, vamos encontrar usando a equação do perímetro:

Passo 7

Com metros e metros, podemos calcular a área máxima:

Resposta

A maior área que pode ser cercada é de 31.250 metros quadrados.

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Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
f)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
b)
Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.