Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde usamos derivadas para encontrar esses pontos importantes de uma função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos).
A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a primeira derivada é igual a zero.
Então, igualamos
a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função e, consequentemente, a natureza dos pontos críticos.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
:
Passo 5
A segunda derivada
é constante e negativa. Isso significa que a função é côncava para baixo em todo o seu domínio. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, esse ponto é um máximo local.
Então, em
, a função tem um máximo local.
Passo 6
Agora, vamos verificar se há algum ponto de inflexão na função. Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Como a segunda derivada
é constante e não muda de sinal, a função não possui ponto de inflexão.
Resposta
A função
possui um máximo local em
com valor
. Não há nenhum ponto de inflexão na função.
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f)
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Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja
o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
c) a maior área que pode ser cercada.
c) a maior área que pode ser cercada.