O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 20 cm e 40 cm , respectivamente. Se a altura crescer a uma taxa de
, determine a taxa de variação do raio do cilindro (
), se seu volume permanecer constante.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um cilindro com diâmetro de 20 cm e altura de 40 cm. A altura está aumentando a uma taxa de
e queremos descobrir a que velocidade o raio está mudando, considerando que o volume do cilindro não está alterando. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um cilindro é dado por:
Onde:
-
é o raio -
é a altura
Como o volume está constante, a derivada do volume em relação ao tempo será zero:
Passo 3
Vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos:
- Diâmetro
, então raio - Altura
-
Substituindo na equação:
Resposta
A taxa de variação do raio do cilindro é
.