O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 20 cm e 40 cm , respectivamente. Se a altura crescer a uma taxa de 2 cm/min, determine a taxa de variação do raio do cilindro ( cm/min ), se seu volume permanecer constante.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cilindro com diâmetro de 20 cm e altura de 40 cm. A altura está aumentando a uma taxa de e queremos descobrir a que velocidade o raio está mudando, considerando que o volume do cilindro não está alterando. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:
Onde:
  • é o raio
  • é a altura
Como o volume está constante, a derivada do volume em relação ao tempo será zero:

Passo 3

Vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo :
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar :

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • Diâmetro , então raio
  • Altura
Substituindo na equação:

Resposta

A taxa de variação do raio do cilindro é .

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