Um campo de velocidade é dado por V=A x^3 imath+b x y^3 jmath, onde A=1 m^-2 s^-1 e B= 1 m^-2 s^-1. As coordenadas x e y são em metros. Obtenha uma expressão para a linha de corrente. Plote algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
y=1raiz2(BA x+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de velocidade , com e . As coordenadas e estão em metros. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a linha de corrente e plotar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo de fluidos e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são trajetórias que mostram a direção e o caminho que uma partícula de fluido seguiria em um campo de velocidade. Para encontrar a equação dessas linhas, usamos a relação entre as componentes da velocidade: .

Passo 3

No nosso caso, temos:
Vx = A x^3
Vy = B x y^3
Portanto, a relação fica:
dydx = B x y^3A x^3 = B y^3A x^2

Passo 4

Vamos separar as variáveis para poder integrar. Rearranjando a equação:
dyy^3 = BA x^2 dx
Isso nos permite integrar os lados separados para encontrar a relação entre e .

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral dyy^3 = integral BA x^2 dx
A integral do lado esquerdo:
integral y^-3 dy = -12 y^-2 + C1
E do lado direito:
integral BA x^-2 dx = -BA x^-1 + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
-12 y^-2 = -BA x^-1 + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
12 y^-2 = BA x^-1 - C

Passo 7

Isolando y^-2 = 2( BA x - C ) :
y^2 = 12( BA x - C )
Tomando o inverso:
y = 1raiz2( BA x - C )
E finalmente:

Passo 8

Então, a expressão para as linhas de corrente é:
y = 1raiz2( BA x + C )
Onde é uma constante que determina diferentes linhas de corrente.

Resposta

A expressão para a linha de corrente é:
y = 1raiz2( BA x + C )
Para plotar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, basta escolher diferentes valores de e traçar as correspondentes curvas dessa equação.

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