Para o campo de velocidade
, onde
e
, encontre uma expressão para a linha de corrente para qualquer tempo
. Plote algumas linhas de corrente para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade
, com
e
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a linha de corrente (ou linha de fluxo) em qualquer instante de tempo
e plotar algumas dessas linhas para
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las com o campo de velocidade fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma linha de corrente. Em dinâmica de fluidos, uma linha de corrente é uma curva que é tangente ao vetor velocidade do fluido em cada ponto. Isso significa que, em cada ponto da curva, a direção da curva é a mesma do vetor de velocidade naquele ponto. Matematicamente, isso é representado pela relação diferencial:
Onde
e
são as componentes do vetor velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar essa relação ao nosso campo de velocidade. Temos:
Substituindo na relação das linhas de corrente:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por
e
, temos:
Essa equação nos permitirá integrar ambos os lados para encontrar a expressão da linha de corrente.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração, que pode variar dependendo da linha de corrente específica.
Passo 6
Para encontrar
em função de
, vamos resolver a equação para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a expressão geral para a linha de corrente no tempo
.
Passo 7
Portanto, a expressão para a linha de corrente para qualquer tempo
é:
Onde
é uma constante que define cada linha de corrente específica.
Resposta
A expressão para a linha de corrente é