Para o campo de velocidade V=A y t imath-B x jmath, onde A=1 s^-1 e B=4 s^-1, encontre uma expressão para a linha de corrente para qualquer tempo t. Plote algumas linhas de corrente para t=1 s e t=20 s.
y=raizC-B x^2A t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade V=A y t imath-B x jmath, com A=1 , s^-1 e B=4 , s^-1. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a linha de corrente (ou linha de fluxo) em qualquer instante de tempo t e plotar algumas dessas linhas para t=1, s e t=20, s. Para isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las com o campo de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma linha de corrente. Em dinâmica de fluidos, uma linha de corrente é uma curva que é tangente ao vetor velocidade do fluido em cada ponto. Isso significa que, em cada ponto da curva, a direção da curva é a mesma do vetor de velocidade naquele ponto. Matematicamente, isso é representado pela relação diferencial:
dydx = vyvx
Onde vx e vy são as componentes do vetor velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar essa relação ao nosso campo de velocidade. Temos:
vx = A y t vy = -B x
Substituindo na relação das linhas de corrente:
dydx = -B xA y t

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por y e dx, temos:
y , dy = -BA t x , dx
Essa equação nos permitirá integrar ambos os lados para encontrar a expressão da linha de corrente.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral y , dy = -BA t integral x , dx
Calculando as integrais:
12 y^2 = -B2 A t x^2 + C
Onde C é a constante de integração, que pode variar dependendo da linha de corrente específica.

Passo 6

Para encontrar y em função de x, vamos resolver a equação para y:
y^2 = C - BA t x^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
y = raizC - B x^2A t
Essa é a expressão geral para a linha de corrente no tempo t.

Passo 7

Portanto, a expressão para a linha de corrente para qualquer tempo t é:
y = raizC - B x^2A t
Onde C é uma constante que define cada linha de corrente específica.

Resposta

A expressão para a linha de corrente é
y = raizC - B x^2A t

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