Um campo de velocidade é dado por
, onde
. As coordenadas
e y são em metros. Plote a linha de trajetória de uma partícula que passa pelo ponto
no tempo
. Compare com a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto nos instantes 0 , 1 e 2 s . Mostre essa comparação em um gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo de velocidade definido por
, onde
e
. As coordenadas
e
estão em metros. Nosso objetivo é traçar a trajetória de uma partícula que passa pelo ponto
no tempo
e comparar com as linhas de corrente nesse mesmo ponto nos instantes de 0, 1 e 2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente sobre campos de velocidade e trajetórias de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de velocidade. Ele nos diz como a velocidade do fluido varia no espaço e no tempo. No nosso caso, a velocidade em cada ponto
depende do tempo
. A partícula que estamos acompanhando vai se mover de acordo com esse campo de velocidade. Para encontrar a trajetória da partícula, precisamos integrar as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos separar as componentes do campo de velocidade:
Como
e
, substituindo:
Essas são as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula nas direções
e
.
Passo 4
Vamos resolver essas equações diferenciais para encontrar
e
.
Para
:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é:
Onde
é a condição inicial. No nosso caso,
, então:
Para
:
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Podemos reescrever:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Com
:
Passo 5
Agora temos as equações paramétricas da trajetória da partícula:
Para comparar com as linhas de corrente nos instantes de 0, 1 e 2 segundos, vamos calcular os valores das coordenadas nesses tempos.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A trajetória da partícula que passa pelo ponto
no tempo
é dada pelas equações:
Ao comparar com as linhas de corrente nos instantes de 0, 1 e 2 segundos, observamos que a partícula se move seguindo essas curvas específicas no campo de velocidade. O gráfico dessas trajetórias e linhas de corrente nos diferentes tempos mostraria como a partícula se desloca e como as linhas de corrente evoluem ao longo do tempo.
Exercícios relacionados
Para o campo de velocidade
, onde
e
, encontre uma expressão para a linha de corrente para qualquer tempo
. Plote algumas linhas de corrente para
e
.
© Equacione o balanco global de massa para o sistema e se for necessario desprezar algum termo explique por que
Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura
. A placa se movimenta a uma velocidade
mediante uma fita rolante que faz um ângulo
com a horizontal. Se pede:
b) A distribuição de velocidades no líquido::
b) A distribuição de velocidades no líquido::
Through a series of tests on pipe flow, H. Darcy derived an equation for the friction loss in
pipe flow as
pipe flow as
in which
is a dimensionless coefficient which depends on (a) the average velocity
of the pipe flow, (b) the pipe diameter
, © the fluid density
, (d) the fluid viscosity
, and (e) the average pipe wall unevenness
(length). Using the Buckingham
theorem, find a dimensionless function for the coefficient
.