Um campo de velocidade é dado por V=B x(1+A t) imath+C y jmath, onde A=0,5 s^-1 e B=C=1 s^-1. As coordenadas x e y são em metros. Plote a linha de trajetória de uma partícula que passa pelo ponto (1,1,0) no tempo t=0 s. Compare com a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto nos instantes 0 , 1 e 2 s . Mostre essa comparação em um gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo de velocidade definido por , onde e . As coordenadas e estão em metros. Nosso objetivo é traçar a trajetória de uma partícula que passa pelo ponto no tempo e comparar com as linhas de corrente nesse mesmo ponto nos instantes de 0, 1 e 2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente sobre campos de velocidade e trajetórias de partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de velocidade. Ele nos diz como a velocidade do fluido varia no espaço e no tempo. No nosso caso, a velocidade em cada ponto depende do tempo . A partícula que estamos acompanhando vai se mover de acordo com esse campo de velocidade. Para encontrar a trajetória da partícula, precisamos integrar as componentes da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos separar as componentes do campo de velocidade:
Vx = B x (1 + A t)
Vy = C y
Como Vx = x (1 + 0,5 t) e Vy = y , substituindo:
Essas são as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula nas direções e .

Passo 4

Vamos resolver essas equações diferenciais para encontrar dydt = y e y(t) = y0 e^t .
Para y(t) = e^t :
dxdt = x (1 + 0,5 t)
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é:
dxx = (1 + 0,5 t) dt
Onde ln|x| = t + 0,25 t^2 + C é a condição inicial. No nosso caso, x(t) = x0 e^t + 0,25 t^2 , então:
x(t) = e^t + 0,25 t^2
Para :
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Podemos reescrever:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Com :

Passo 5

Agora temos as equações paramétricas da trajetória da partícula:
x(t) = e^t + 0,25 t^2
y(t) = e^t
Para comparar com as linhas de corrente nos instantes de 0, 1 e 2 segundos, vamos calcular os valores das coordenadas nesses tempos.
Para x(0) = e^0 + 0 = 1 :
y(0) = e^0 = 1
x(1) = e^1 + 0,25 approx e^1,25 approx 3,49
Para y(1) = e^1 approx 2,72 :
x(2) = e^2 + 1 = e^3 approx 20,09
y(2) = e^2 approx 7,39
Para :

Resposta

A trajetória da partícula que passa pelo ponto x(t) = e^t + 0,25 t^2 no tempo y(t) = e^t é dada pelas equações:
Ao comparar com as linhas de corrente nos instantes de 0, 1 e 2 segundos, observamos que a partícula se move seguindo essas curvas específicas no campo de velocidade. O gráfico dessas trajetórias e linhas de corrente nos diferentes tempos mostraria como a partícula se desloca e como as linhas de corrente evoluem ao longo do tempo.

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