Through a series of tests on pipe flow, H. Darcy derived an equation for the friction loss in
pipe flow as
hL=f LD v^22 g
in which f is a dimensionless coefficient which depends on (a) the average velocity v of the pipe flow, (b) the pipe diameter D, © the fluid density rho, (d) the fluid viscosity mu, and (e) the average pipe wall unevenness e (length). Using the Buckingham pi theorem, find a dimensionless function for the coefficient f.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de Darcy para perda de atrito no fluxo de tubulação:
hL=f LD v^22 g
Aqui, é a perda de carga, é um coeficiente adimensional que depende de várias variáveis: a velocidade média do fluxo, o diâmetro da tubulação , a densidade do fluido , a viscosidade do fluido e a rugosidade média da parede da tubulação . Nosso objetivo é usar o Teorema de Buckingham para encontrar uma função adimensional para o coeficiente .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Buckingham . Ele nos ajuda a reduzir o número de variáveis em um problema físico, agrupando-as em termos adimensionais chamados de grupos. Para isso, precisamos:
  1. Identificar todas as variáveis relevantes.
  2. Determinar as unidades dessas variáveis.
  3. Escolher um conjunto de variáveis fundamentais que formam uma base para as unidades (geralmente escolhemos as variáveis que incluem todas as dimensões fundamentais, como massa, comprimento e tempo).
  4. Expressar as outras variáveis em termos dessas variáveis base.

Passo 3

Vamos listar as variáveis que influenciam o coeficiente :
  • Velocidade média do fluxo, (Unidade: LT )
  • Diâmetro da tubulação, (Unidade: L)
  • Densidade do fluido, (Unidade: ML )
  • Viscosidade do fluido, (Unidade: ML T )
  • Rugosidade da tubulação, (Unidade: L)
Além disso, temos constantes como a aceleração da gravidade (Unidade: LT ) e o comprimento da tubulação (Unidade: L).

Passo 4

Agora, determinamos as dimensões de cada variável:
  • : [LT ]
  • : [L]
  • : [ML ]
  • : [ML T ]
  • : [L]
  • : [LT ]
  • : [L]

Passo 5

Escolhemos as variáveis fundamentais para formar nossa base. Geralmente, escolhemos massa , comprimento e tempo . Das variáveis listadas, , e são boas candidatas para as variáveis repetidoras, pois suas dimensões combinam todas as unidades fundamentais necessárias.

Passo 6

Agora, queremos expressar as outras variáveis ( pi = mu D^a v^b rho^c , [ML^-1T^-1] [L]^a [LT^-1]^b [ML^-3]^c = M^1 L^-1+a + b -3c T^-1 - b ) em termos das variáveis repetidoras ( pi1 = murho v D , , ).
Para cada variável não repetidora, vamos encontrar exponents , , e tais que:
Igualando as dimensões:
Queremos que essa combinação seja adimensional, ou seja, nenhuma unidade (M, L, T). Então, igualamos os expoentes a zero:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Substituindo na equação :
Então, a primeira dimensão adimensional é:

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para a rugosidade pi = e D^a v^b rho^c :
[L] [L]^a [LT^-1]^b [ML^-3]^c = M^c L^1 + a + b - 3c T^-b
Dimensões:
pi2 = eD
Igualando os expoentes a zero:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Substituindo na equação :
Então, a segunda dimensão adimensional é:

Passo 8

Agora, podemos escrever a função adimensional para f = F(pi1, pi2) = F(murho v D, eD) em termos das grupos que encontramos:

Resposta

O coeficiente adimensional f = F(murho v D, eD) pode ser expresso como uma função das seguintes variáveis adimensionais:

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