Through a series of tests on pipe flow, H. Darcy derived an equation for the friction loss in
pipe flow as
in which
is a dimensionless coefficient which depends on (a) the average velocity
of the pipe flow, (b) the pipe diameter
, © the fluid density
, (d) the fluid viscosity
, and (e) the average pipe wall unevenness
(length). Using the Buckingham
theorem, find a dimensionless function for the coefficient
.
pipe flow as
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de Darcy para perda de atrito no fluxo de tubulação:
Aqui,
é a perda de carga,
é um coeficiente adimensional que depende de várias variáveis: a velocidade média
do fluxo, o diâmetro da tubulação
, a densidade do fluido
, a viscosidade do fluido
e a rugosidade média da parede da tubulação
. Nosso objetivo é usar o Teorema de Buckingham
para encontrar uma função adimensional para o coeficiente
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Buckingham
. Ele nos ajuda a reduzir o número de variáveis em um problema físico, agrupando-as em termos adimensionais chamados de
grupos. Para isso, precisamos:
- Identificar todas as variáveis relevantes.
- Determinar as unidades dessas variáveis.
- Escolher um conjunto de variáveis fundamentais que formam uma base para as unidades (geralmente escolhemos as variáveis que incluem todas as dimensões fundamentais, como massa, comprimento e tempo).
- Expressar as outras variáveis em termos dessas variáveis base.
Passo 3
Vamos listar as variáveis que influenciam o coeficiente
:
- Velocidade média do fluxo,
(Unidade: LT ) - Diâmetro da tubulação,
(Unidade: L) - Densidade do fluido,
(Unidade: ML ) - Viscosidade do fluido,
(Unidade: ML T ) - Rugosidade da tubulação,
(Unidade: L)
Além disso, temos constantes como a aceleração da gravidade
(Unidade: LT
) e o comprimento da tubulação
(Unidade: L).
Passo 4
Agora, determinamos as dimensões de cada variável:
-
: [LT ] -
: [L] -
: [ML ] -
: [ML T ] -
: [L] -
: [LT ] -
: [L]
Passo 5
Escolhemos as variáveis fundamentais para formar nossa base. Geralmente, escolhemos massa
, comprimento
e tempo
. Das variáveis listadas,
,
e
são boas candidatas para as variáveis repetidoras, pois suas dimensões combinam todas as unidades fundamentais necessárias.
Passo 6
Agora, queremos expressar as outras variáveis (
,
) em termos das variáveis repetidoras (
,
,
).
Para cada variável não repetidora, vamos encontrar exponents
,
, e
tais que:
Igualando as dimensões:
Queremos que essa combinação seja adimensional, ou seja, nenhuma unidade (M, L, T). Então, igualamos os expoentes a zero:
- Para
: → - Para
: → → → - Para
: →
Substituindo
na equação
:
Então, a primeira dimensão adimensional é:
Passo 7
Agora, fazemos o mesmo para a rugosidade
:
Dimensões:
Igualando os expoentes a zero:
- Para
: - Para
: - Para
: →
Substituindo
na equação
:
Então, a segunda dimensão adimensional é:
Passo 8
Agora, podemos escrever a função adimensional para
em termos das
grupos que encontramos:
Resposta
O coeficiente adimensional
pode ser expresso como uma função das seguintes variáveis adimensionais:
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