Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura de. A placa se movimenta a uma velocidade U=0,5 m / s mediante uma fita rolante que faz um ângulo theta=10^circ com a horizontal. Se pede:
b) A distribuição de velocidades no líquido::

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um líquido que forma uma película com espessura sobre uma placa fotográfica. Essa placa está se movendo a uma velocidade por meio de uma fita rolante que faz um ângulo com a horizontal. O que precisamos descobrir é como a velocidade do líquido varia dentro dessa película, ou seja, a distribuição de velocidades no líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em situações onde temos uma película fina de líquido sobre uma superfície em movimento, podemos usar a teoria de fluxo laminar em filmes finos. Essa teoria nos ajuda a entender como o fluido se comporta quando está sendo arrastado por uma superfície que se move.

Passo 3

Vamos considerar que o fluxo é laminar e que a viscosidade do líquido é constante. Além disso, assumimos que não há variação de velocidade na direção do fluxo, ou seja, o fluxo é unidimensional. A placa está inclinada em um ângulo , então precisamos levar em conta a componente da gravidade que atua ao longo da placa.

Passo 4

A equação de Navier-Stokes para este caso simplificado, considerando que não há variação de velocidade na direção perpendicular ao fluxo, fica:
mu d^2 udy^2 = rho g sin(theta)
onde:
  • é a viscosidade do líquido,
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a velocidade do fluido em função da posição dentro da película.

Passo 5

Integrando a equação acima em relação a d udy = rho g sin(theta)mu y + C1 , temos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Integrando novamente, obtemos a distribuição de velocidade u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 + C1 y + C2 :
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e :
  1. Na superfície da placa ( ), a velocidade do líquido deve ser igual à velocidade da placa: .
  2. Na superfície livre do líquido ( ), a derivada da velocidade em relação a deve ser zero: (sem cisalhamento na superfície livre).

Passo 8

Aplicando a primeira condição de contorno U = rho g sin(theta)2mu (0)^2 + C1 (0) + C2 Rightarrow C2 = U :
0 = rho g sin(theta)2mu de
Aplicando a segunda condição de contorno :

Passo 9

Substituindo u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 - rho g sin(theta)2mu de e u(y) = rho g sin(theta)2mu (y^2 - de na expressão de :
Podemos fatorar e simplificar:

Passo 10

Para deixar a expressão mais elegante, podemos reescrever a distribuição de velocidades como:
u(y) = U (1 - yde
Isso nos mostra como a velocidade varia de na superfície da placa até zero na superfície livre.

Resposta

A distribuição de velocidade no líquido é dada por:
u(y) = U (1 - yde
Onde:
  • é a velocidade da placa,
  • é a espessura da película,
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo de inclinação,
  • é a viscosidade do líquido.
Essa equação descreve como a velocidade do fluido varia de cima para baixo na película.

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