Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura de. A placa se movimenta a uma velocidade U=0,5 m / s mediante uma fita rolante que faz um ângulo theta=10^circ com a horizontal. Se pede:
b) A distribuição de velocidades no líquido::

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um líquido que forma uma película com espessura sobre uma placa fotográfica. Essa placa está se movendo a uma velocidade por meio de uma fita rolante que faz um ângulo com a horizontal. O que precisamos descobrir é como a velocidade do líquido varia dentro dessa película, ou seja, a distribuição de velocidades no líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em situações onde temos uma película fina de líquido sobre uma superfície em movimento, podemos usar a teoria de fluxo laminar em filmes finos. Essa teoria nos ajuda a entender como o fluido se comporta quando está sendo arrastado por uma superfície que se move.

Passo 3

Vamos considerar que o fluxo é laminar e que a viscosidade do líquido é constante. Além disso, assumimos que não há variação de velocidade na direção do fluxo, ou seja, o fluxo é unidimensional. A placa está inclinada em um ângulo , então precisamos levar em conta a componente da gravidade que atua ao longo da placa.

Passo 4

A equação de Navier-Stokes para este caso simplificado, considerando que não há variação de velocidade na direção perpendicular ao fluxo, fica:
mu d^2 udy^2 = rho g sin(theta)
onde:
  • é a viscosidade do líquido,
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a velocidade do fluido em função da posição dentro da película.

Passo 5

Integrando a equação acima em relação a d udy = rho g sin(theta)mu y + C1 , temos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Integrando novamente, obtemos a distribuição de velocidade u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 + C1 y + C2 :
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e :
  1. Na superfície da placa ( ), a velocidade do líquido deve ser igual à velocidade da placa: .
  2. Na superfície livre do líquido ( ), a derivada da velocidade em relação a deve ser zero: (sem cisalhamento na superfície livre).

Passo 8

Aplicando a primeira condição de contorno U = rho g sin(theta)2mu (0)^2 + C1 (0) + C2 Rightarrow C2 = U :
0 = rho g sin(theta)2mu de
Aplicando a segunda condição de contorno :

Passo 9

Substituindo u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 - rho g sin(theta)2mu de e u(y) = rho g sin(theta)2mu (y^2 - de na expressão de :
Podemos fatorar e simplificar:

Passo 10

Para deixar a expressão mais elegante, podemos reescrever a distribuição de velocidades como:
u(y) = U (1 - yde
Isso nos mostra como a velocidade varia de na superfície da placa até zero na superfície livre.

Resposta

A distribuição de velocidade no líquido é dada por:
u(y) = U (1 - yde
Onde:
  • é a velocidade da placa,
  • é a espessura da película,
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo de inclinação,
  • é a viscosidade do líquido.
Essa equação descreve como a velocidade do fluido varia de cima para baixo na película.

Exercícios relacionados

Um campo de velocidade é dado por V=B x(1+A t) imath+C y jmath, onde A=0,5 s^-1 e B=C=1 s^-1. As coordenadas x e y são em metros. Plote a linha de trajetória de uma partícula que passa pelo ponto (1,1,0) no tempo t=0 s. Compare com a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto nos instantes 0 , 1 e 2 s . Mostre essa comparação em um gráfico.
Para o campo de velocidade V=A y t imath-B x jmath, onde A=1 s^-1 e B=4 s^-1, encontre uma expressão para a linha de corrente para qualquer tempo t. Plote algumas linhas de corrente para t=1 s e t=20 s.
y=raizC-B x^2A t
Through a series of tests on pipe flow, H. Darcy derived an equation for the friction loss in
pipe flow as
hL=f LD v^22 g
in which f is a dimensionless coefficient which depends on (a) the average velocity v of the pipe flow, (b) the pipe diameter D, © the fluid density rho, (d) the fluid viscosity mu, and (e) the average pipe wall unevenness e (length). Using the Buckingham pi theorem, find a dimensionless function for the coefficient f.
Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura de. A placa se movimenta a uma velocidade U=0,5 m / s mediante uma fita rolante que faz um ângulo theta=10^circ com a horizontal. Se pede:
a) A partir da equação de Navier-Stokes encontrar a equação diferencial e as condiçōes de contorno que representa o sistema.