Um campo velocidade é dado por
, onde u e v são dadas
x e y são dadas em m . Encontre e grafique a linha de corrente que passa pela origem. Compare esta linha de corrente com a linha de emissão que tem a origem como posição inicial.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um campo de velocidade dado por
. Queremos encontrar e graficar a linha de corrente que passa pela origem e depois comparar essa linha com a linha de emissão que também começa na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e linhas de emissão, além de usar conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linhas de corrente. Uma linha de corrente é o caminho que uma partícula seguiria em um campo de velocidade. Matematicamente, elas são obtidas resolvendo a equação diferencial
, onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. Então, a equação para a linha de corrente fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos reescrever a equação como:
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial que a linha de corrente passa pela origem, ou seja, quando
,
:
Portanto, a solução geral é:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Passo 5
Agora, vamos graficar a linha de corrente encontrada. A equação é:
Para diversos valores de
, calculamos
e plotamos os pontos para visualizar a trajetória que passa pela origem.
Passo 6
Por fim, vamos comparar a linha de corrente com a linha de emissão. A linha de emissão é o caminho seguido por partículas que são emitidas do ponto inicial (a origem). No entanto, no campo de velocidade dado, a linha de emissão coincide com a linha de corrente porque as partículas que saem da origem seguem exatamente a trajetória determinada pela linha de corrente.
Resposta
A linha de corrente que passa pela origem é dada por:
Ao comparar, observa-se que a linha de emissão que parte da origem segue exatamente a mesma trajetória da linha de corrente encontrada.
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