Um campo velocidade é dado por V=x i+x(x-1)(y+1) j, onde u e v são dadas em m / se x e y são dadas em m . Encontre e grafique a linha de corrente que passa pela origem. Compare esta linha de corrente com a linha de emissão que tem a origem como posição inicial.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um campo de velocidade dado por V = x i + x(x-1)(y+1) j. Queremos encontrar e graficar a linha de corrente que passa pela origem e depois comparar essa linha com a linha de emissão que também começa na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e linhas de emissão, além de usar conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linhas de corrente. Uma linha de corrente é o caminho que uma partícula seguiria em um campo de velocidade. Matematicamente, elas são obtidas resolvendo a equação diferencial dydx = vu, onde u e v são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, temos u = x e v = x(x-1)(y+1). Então, a equação para a linha de corrente fica:
dydx = x(x-1)(y+1)x = (x-1)(y+1)
Simplificando, temos:
dydx = (x-1)(y+1)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos reescrever a equação como:
dydx = (x-1)(y+1)
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por (y+1) e multiplicar por dx:
1y+1 dy = (x-1) dx
Integrando ambos os lados:
integral 1y+1 dy = integral (x-1) dx
Isso nos dá:
ln|y+1| = (x-1)^22 + C
Onde C é a constante de integração. Para encontrar C, usamos a condição inicial que a linha de corrente passa pela origem, ou seja, quando x=0, y=0:
ln(0+1) = (0-1)^22 + C Rightarrow 0 = 12 + C Rightarrow C = -12
Portanto, a solução geral é:
ln(y+1) = (x-1)^22 - 12
Exponenciando ambos os lados para resolver para y:
y + 1 = e^(x-1)^2 - 12 Rightarrow y = e^(x-1)^2 - 12 - 1

Passo 5

Agora, vamos graficar a linha de corrente encontrada. A equação é:
y = e^(x-1)^2 - 12 - 1
Para diversos valores de x, calculamos y e plotamos os pontos para visualizar a trajetória que passa pela origem.

Passo 6

Por fim, vamos comparar a linha de corrente com a linha de emissão. A linha de emissão é o caminho seguido por partículas que são emitidas do ponto inicial (a origem). No entanto, no campo de velocidade dado, a linha de emissão coincide com a linha de corrente porque as partículas que saem da origem seguem exatamente a trajetória determinada pela linha de corrente.

Resposta

A linha de corrente que passa pela origem é dada por:
y = e^(x-1)^2 - 12 - 1
Ao comparar, observa-se que a linha de emissão que parte da origem segue exatamente a mesma trajetória da linha de corrente encontrada.

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