Um campo velocidade é dado por , onde u e v são dadas x e y são dadas em m . Encontre e grafique a linha de corrente que passa pela origem. Compare esta linha de corrente com a linha de emissão que tem a origem como posição inicial.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um campo de velocidade dado por . Queremos encontrar e graficar a linha de corrente que passa pela origem e depois comparar essa linha com a linha de emissão que também começa na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e linhas de emissão, além de usar conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linhas de corrente. Uma linha de corrente é o caminho que uma partícula seguiria em um campo de velocidade. Matematicamente, elas são obtidas resolvendo a equação diferencial , onde e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Então, a equação para a linha de corrente fica:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos reescrever a equação como:
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial que a linha de corrente passa pela origem, ou seja, quando , :
Portanto, a solução geral é:
Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Passo 5

Agora, vamos graficar a linha de corrente encontrada. A equação é:
Para diversos valores de , calculamos e plotamos os pontos para visualizar a trajetória que passa pela origem.

Passo 6

Por fim, vamos comparar a linha de corrente com a linha de emissão. A linha de emissão é o caminho seguido por partículas que são emitidas do ponto inicial (a origem). No entanto, no campo de velocidade dado, a linha de emissão coincide com a linha de corrente porque as partículas que saem da origem seguem exatamente a trajetória determinada pela linha de corrente.

Resposta

A linha de corrente que passa pela origem é dada por:
Ao comparar, observa-se que a linha de emissão que parte da origem segue exatamente a mesma trajetória da linha de corrente encontrada.

Exercícios relacionados

Determine o diâmetro da adutora que irá abastecer um reservatório com uma vazão de . Considere que a velocidade da água deve estar entre 1,0 e . Diâmetros comerciais disponíveis: 50, 75, 100, 125, 150 e 200 mm . Resposta: .
Óleo SAE 10 W a escoa a por meio de um tubo horizontal com e L . Encontre (a) a velocidade média, (b) o número de Reynolds e o regime de escoamento. Resposta: ; Rey = 134,3 - Escoamento laminar
Determine o campo aceleração para um escoamento tridimensional com componentes de velocidade como segue: e .
Calcular o diâmetro de uma canalização para conduzir uma vazão de s, com velocidade média do líquido em seu interior de . Resposta: