Determine o campo aceleração para um escoamento tridimensional com componentes de velocidade como segue: u=-x, v=4 x^2 y^2 e w=x-y.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de dinâmica de fluidos onde precisamos encontrar o campo de aceleração para um escoamento tridimensional. As componentes de velocidade dadas são , e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de aceleração. Na dinâmica dos fluidos, a aceleração de um ponto no fluido é a taxa de variação da velocidade desse ponto ao longo do tempo. Ela tem duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva.

Passo 3

A fórmula para o campo de aceleração a = ( partial upartial t + u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z ) i + ( partial vpartial t + u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z ) j + ( partial wpartial t + u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z ) k em coordenadas cartesianas é dada por:
Como o enunciado não menciona variação no tempo, assumimos que todas as derivadas temporais são zero.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da aceleração:
Para a componente ax = u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z :
partial upartial x = partial (-x)partial x = -1
Calculando as derivadas:
partial upartial y = 0 e partial upartial z = 0
ax = (-x)(-1) + (4x^2 y^2)(0) + (x - y)(0) = x
Então,
ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z
Para a componente partial vpartial x = partial (4x^2 y^2)partial x = 8x y^2 :
partial vpartial y = partial (4x^2 y^2)partial y = 8x^2 y
Calculando as derivadas:
partial vpartial z = 0
ay = (-x)(8x y^2) + (4x^2 y^2)(8x^2 y) + (x - y)(0) = -8x^2 y^2 + 32x^4 y^3
az = u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z
Então,
partial wpartial x = partial (x - y)partial x = 1
Para a componente partial wpartial y = partial (x - y)partial y = -1 :
partial wpartial z = 0
Calculando as derivadas:
az = (-x)(1) + (4x^2 y^2)(-1) + (x - y)(0) = -x - 4x^2 y^2
Então,

Resposta

O campo de aceleração é dado por:
a = ( x ) i + ( -8x^2 y^2 + 32x^4 y^3 ) j + ( -x - 4x^2 y^2 ) k

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