Determine o campo aceleração para um escoamento tridimensional com componentes de velocidade como segue: e .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de dinâmica de fluidos onde precisamos encontrar o campo de aceleração para um escoamento tridimensional. As componentes de velocidade dadas são , e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de aceleração. Na dinâmica dos fluidos, a aceleração de um ponto no fluido é a taxa de variação da velocidade desse ponto ao longo do tempo. Ela tem duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva.

Passo 3

A fórmula para o campo de aceleração em coordenadas cartesianas é dada por:
Como o enunciado não menciona variação no tempo, assumimos que todas as derivadas temporais são zero.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da aceleração:
Para a componente :
Calculando as derivadas:
Então,
Para a componente :
Calculando as derivadas:
Então,
Para a componente :
Calculando as derivadas:
Então,

Resposta

O campo de aceleração é dado por:

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