Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores das constantes e que tornam a função contínua no ponto . Isso envolve entender o conceito de continuidade e como aplicar as condições necessárias para que a função não tenha “saltos” ou “quebras” nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma função contínua no ponto . Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos olhar para a função dada:
Queremos que essa função seja contínua em . Então, precisamos garantir que:
está definido.
O limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda () existe.
O limite de quando se aproxima de 0 pela direita (( x \to 0^+ \ )) existe.
Esses limites são iguais entre si e iguais a .
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar . A definição para é:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda (). Para , a função é:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
Quando , . Então:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita (). Para , a função é:
Quando , . Então:
Passo 7
Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e ambos devem ser iguais a .
Então, temos:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Resolvendo para :
Passo 9
Agora que encontramos , podemos encontrar usando a equação :
Resposta
Os valores das constantes que tornam contínua em são e .