Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores das constantes e que tornam a função contínua no ponto . Isso envolve entender o conceito de continuidade e como aplicar as condições necessárias para que a função não tenha “saltos” ou “quebras” nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma função contínua no ponto . Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos olhar para a função dada:
Queremos que essa função seja contínua em . Então, precisamos garantir que:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) existe.
  3. O limite de quando se aproxima de 0 pela direita (( x \to 0^+ \ )) existe.
  4. Esses limites são iguais entre si e iguais a .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar . A definição para é:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Para , a função é:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
Quando , . Então:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para , a função é:
Quando , . Então:

Passo 7

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e ambos devem ser iguais a .
Então, temos:

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que encontramos , podemos encontrar usando a equação :

Resposta

Os valores das constantes que tornam contínua em são e .

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