Simplifique as equações de Navier-Stokes para um escoamento permanente e incompressível entre placas paralelas horizontais, supondo que u=u(y) e w=0. Escreva todas as três equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para simplificar as equações de Navier-Stokes para um tipo específico de escoamento: um escoamento permanente (ou seja, que não muda com o tempo) e incompressível entre placas paralelas horizontais. As condições que a gente vai considerar são que a velocidade na direção , chamada , depende apenas da coordenada (ou seja, ) e que a velocidade na direção , chamada , é zero ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de Navier-Stokes e como elas se aplicam a esse cenário específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas descrevem o movimento dos fluidos e são fundamentais na mecânica dos fluidos. Em três dimensões, para um fluido incompressível e sem forças externas, as equações são:
partial upartial t + upartial upartial x + vpartial upartial y + wpartial upartial z = -1rhopartial ppartial x + nu ( partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 ) partial vpartial t + upartial vpartial x + vpartial vpartial y + wpartial vpartial z = -1rhopartial ppartial y + nu ( partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + partial^2 vpartial z^2 ) partial wpartial t + upartial wpartial x + vpartial wpartial y + wpartial wpartial z = -1rhopartial ppartial z + nu ( partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 + partial^2 wpartial z^2 )
Onde:
  • são as componentes da velocidade nas direções respectivamente.
  • é a pressão.
  • é a densidade do fluido.
  • é a viscosidade cinemática.

Passo 3

Como o escoamento é permanente, isso significa que não há variação no tempo, ou seja, . Além disso, como o fluxo é incompressível e unidirecional com e , podemos simplificar as equações.

Passo 4

Vamos analisar cada uma das três equações de Navier-Stokes com essas condições:
  1. Equação na direção 0 + upartial upartial x + vpartial upartial y + 0 = -1rhopartial ppartial x + nu ( partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + 0 ) :
vdudy = -1rhopartial ppartial x + nu d^2 udy^2
Como 0 + upartial vpartial x + vpartial vpartial y + 0 = -1rhopartial ppartial y + nu ( partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + 0 ) , as derivadas em relação a 0 = -1rhopartial ppartial y são zero. Além disso, se não há variação na direção 0 + upartial wpartial x + vpartial wpartial y + 0 = -1rhopartial ppartial z + nu ( 0 + 0 + 0 ) , a segunda derivada em 0 = -1rhopartial ppartial z também é zero. Isso simplifica para:
  1. Equação na direção :
Como não há variação de com e , todas as derivadas de são zero. Assim, temos:
Isso indica que a pressão não varia na direção , ou seja, .
  1. Equação na direção :
Como , todas as derivadas de são zero, e a equação simplifica para:
Isso significa que a pressão também não varia na direção , ou seja, .

Resposta

As equações de Navier-Stokes simplificadas para o escoamento permanente e incompressível entre placas paralelas horizontais, considerando vdudy = -1rhopartial ppartial x + nu d^2 udy^2 e partial ppartial y = 0 , são:
partial ppartial z = 0

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