Para o campo de velocidade
com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante
uma partícula passa no ponto (
) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
[i] considerando que no instante
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por
(em metros por segundo). Precisamos resolver duas partes:
- [i] Encontrar a equação da trajetória de uma partícula que passa pelo ponto
no instante . - [ii] Determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente integrais para encontrar a trajetória e derivadas para a aceleração.
Passo 2
Vamos começar com a parte [i]: encontrar a equação da trajetória.
Primeiro, sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos as seguintes componentes de velocidade:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 3
Resolvendo para
:
A equação
é uma equação diferencial simples. Podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que no instante
,
. Então:
Portanto, a posição em
é:
Passo 4
Resolvendo para
:
A equação
é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Usando a condição inicial
:
Então, a posição em
é:
Passo 5
Agora, queremos a equação da trajetória, que relaciona
com
. Já temos
e
, então vamos eliminar
.
Da equação de
:
Substituindo
na equação de
:
Portanto, a equação da trajetória é:
Passo 6
Agora vamos para a parte [ii]: determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos primeiro encontrar as componentes da aceleração:
Dado que:
Então:
Já sabemos que
, então:
Passo 7
Agora precisamos encontrar o valor de
após 5 segundos para calcular
.
Usando a equação de
:
Agora, substituindo na expressão para
:
Resposta
A trajetória da partícula é dada por
e a aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente
.