Para o campo de velocidade V=0,01 times i-0,01 y j com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante t=0 uma partícula passa no ponto ( x0=1 ; y0=3 ) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por (em metros por segundo). Precisamos resolver duas partes:
  1. [i] Encontrar a equação da trajetória de uma partícula que passa pelo ponto no instante .
  2. [ii] Determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente integrais para encontrar a trajetória e derivadas para a aceleração.

Passo 2

Vamos começar com a parte [i]: encontrar a equação da trajetória.
Primeiro, sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos as seguintes componentes de velocidade:
dxdt = 0,01
dydt = -0,01,y
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 3

Resolvendo para integral dx = integral 0,01,dt :
A equação x(t) = 0,01,t + C é uma equação diferencial simples. Podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
1 = 0,01 times 0 + C Rightarrow C = 1
x(t) = 0,01,t + 1
Onde é a constante de integração. Sabemos que no instante , . Então:
Portanto, a posição em é:

Passo 4

Resolvendo para dyy = -0,01,dt :
A equação integral 1y,dy = integral -0,01,dt é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
ln|y| = -0,01,t + C
Integrando ambos os lados:
y = e^-0,01,t + C = e^C cdot e^-0,01,t
y(t) = K cdot e^-0,01,t
Exponenciando ambos os lados para resolver para 3 = K cdot e^0 Rightarrow K = 3 :
y(t) = 3,e^-0,01,t
Podemos escrever como uma nova constante :
Usando a condição inicial :
Então, a posição em é:

Passo 5

Agora, queremos a equação da trajetória, que relaciona x = 0,01,t + 1 Rightarrow t = x - 10,01 com y = 3,e^-0,01 times x - 10,01 = 3,e^-(x - 1) = 3,e^1 - x . Já temos y = 3,e^1 - x e , então vamos eliminar .
Da equação de :
Substituindo na equação de :
Portanto, a equação da trajetória é:

Passo 6

Agora vamos para a parte [ii]: determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos primeiro encontrar as componentes da aceleração:
a = dVdt
Dado que:
V = 0,01,i - 0,01,y,j
Então:
ax = ddt(0,01) = 0
ay = ddt(-0,01,y) = -0,01,dydt
Já sabemos que ay = -0,01 times (-0,01,y) = 0,0001,y , então:

Passo 7

Agora precisamos encontrar o valor de y(5) = 3,e^-0,01 times 5 = 3,e^-0,05 approx 3 times 0,951229 = 2,8537,m/s após 5 segundos para calcular ay = 0,0001 times 2,8537 approx 0,00028537,m/s^2 .
Usando a equação de :
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

A trajetória da partícula é dada por e a aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente .

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