Para o campo de velocidade
com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante
uma partícula passa no ponto (
) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
[i] considerando que no instante
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por
(em metros por segundo). Precisamos resolver duas partes:
- [i] Encontrar a equação da trajetória de uma partícula que passa pelo ponto
no instante . - [ii] Determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente integrais para encontrar a trajetória e derivadas para a aceleração.
Passo 2
Vamos começar com a parte [i]: encontrar a equação da trajetória.
Primeiro, sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos as seguintes componentes de velocidade:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 3
Resolvendo para
:
A equação
é uma equação diferencial simples. Podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que no instante
,
. Então:
Portanto, a posição em
é:
Passo 4
Resolvendo para
:
A equação
é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Usando a condição inicial
:
Então, a posição em
é:
Passo 5
Agora, queremos a equação da trajetória, que relaciona
com
. Já temos
e
, então vamos eliminar
.
Da equação de
:
Substituindo
na equação de
:
Portanto, a equação da trajetória é:
Passo 6
Agora vamos para a parte [ii]: determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos primeiro encontrar as componentes da aceleração:
Dado que:
Então:
Já sabemos que
, então:
Passo 7
Agora precisamos encontrar o valor de
após 5 segundos para calcular
.
Usando a equação de
:
Agora, substituindo na expressão para
:
Resposta
A trajetória da partícula é dada por
e a aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Á gua é bombeada de um tanque (aberto) até um vaso (fechado) com vazão constante de
, conforme o esquema apresentado. Os comprimentos dos trechos de canalização entre os manômetros e a bomba são desprezíveis se comparados com o comprimento total da canalização. Calcule o rendimento da bomba e a perda por atrito na canalização. Dados: densidade da água de
; potência da bomba de
atts.
(STRINGER, 1976) A queda de pressão através de um orifício de
de diâmetro é de 69 bar. Calcule a vazão através do orifício. Considere: Coeficiente de descarga: Cd: 0,625; Massa específica do óleo:
.
(STRINGER, 1976) O fluido escoa ao longo da passagem anular formada entre um êmbolo de 10
de diâmetro (d) e
de comprimento (I) e sua camisa, com uma folga radial (fr) entre os dois de
. Calcule o vazamento ao longo do deste orifício anular se a diferença de pressão é 200 bar, a massa específica (
) do fluido é
e a viscosidade cinemática (
) do fluido é 50 cSt. A vazão através de uma passagem anular é expressa por:
Onde:
diferença de pressão;
viscosidade dinâmica do fluido
Seja um servomecanismo eletro-hidráulico de controle de posição, de construção semelhante aquele da Parte III - seção 5.2. Considerando a existência de uma mola entre a massa (Mc) e a superfície fixa e que o atrito e a compressibilidade sejam desprezíveis, pede-se avaliar:
a) A necessidade ou não de se incluir a dinâmica da servoválvula para uma analise preliminar.
b) O ganho do sistema em malha aberta e em malha fechada.
c) O diagrama de blocos do sistema global quando se despreza a dinâmica da servoválvula
Como dados característicos, tem-se:
a) A necessidade ou não de se incluir a dinâmica da servoválvula para uma analise preliminar.
b) O ganho do sistema em malha aberta e em malha fechada.
c) O diagrama de blocos do sistema global quando se despreza a dinâmica da servoválvula
Como dados característicos, tem-se:
- Servoválvula:
Frequência natural:
Razão de amortecimento: 0,5
Ganho em regime permanente:
Vazão nominal:
Deslocamento nominal; in
Ganho de vazão; 794,6 in 2 /s
Coeficiente de vazão-pressão: in
Razão de amortecimento: 0,5
Ganho em regime permanente:
Vazão nominal:
Deslocamento nominal;
Ganho de vazão; 794,6 in 2 /s
Coeficiente de vazão-pressão:
- Atuador e carga:
Área do pistão:
Massa total:
Rigidez da mola:
Coeficiente de vazamento interno:
Massa total:
Rigidez da mola:
Coeficiente de vazamento interno:
- Outros elementos:
Ganho do amplificador:
Ganho do transdutor de deslocamento:
Módulo de compressibilidade do fluido hidráulico: [1]
Ganho do transdutor de deslocamento:
Módulo de compressibilidade do fluido hidráulico:
- Prof. Victor Juliano De Negri, Dr. Eng. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
LABORATÓRIO DE SISTEMAS HIDRÁULICOS E PNEUMÁTICOS - LASHIP
victor@emc.ufsc.br - http://www.laship.ufsc.br
Fone: 483319396 - Fax: 483317615 ↩︎