Para o campo de velocidade em que
, em que
e
, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores no primeiro quadrante.
R:
R:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por
, onde
e
. As coordenadas
e
estão em metros. Nosso objetivo é encontrar a equação das linhas de corrente desse escoamento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a relação entre as componentes de velocidade e as linhas de corrente.
Passo 2
As linhas de corrente, ou linhas de fluxo, são trajetórias que uma partícula de fluido seguiria em um dado campo de velocidade. Para encontrar a equação dessas linhas, usamos a relação diferencial:
Aqui,
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos substituir as expressões de
e
na equação diferencial:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Integrando os dois lados:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Sabendo que
, temos:
onde
é uma constante redefinida.
Passo 7
Finalmente, a equação das linhas de corrente é: