Para o campo de velocidade em que V=A x^2 y imath+B x y^2 jmath, em que A=2 m^-2 s^-1 e B= -1 m^-2 s^-1, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores no primeiro quadrante.
R: y=C / raizx

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por , onde e . As coordenadas e estão em metros. Nosso objetivo é encontrar a equação das linhas de corrente desse escoamento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a relação entre as componentes de velocidade e as linhas de corrente.

Passo 2

As linhas de corrente, ou linhas de fluxo, são trajetórias que uma partícula de fluido seguiria em um dado campo de velocidade. Para encontrar a equação dessas linhas, usamos a relação diferencial:
dydx = VyVx
Aqui, e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir as expressões de dydx = B x y^2A x^2 y = B yA x e dydx = (-1) y2 x = -y2x na equação diferencial:
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial separável:
dyy = -12 dxx
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e .

Passo 5

Integrando os dois lados:
integral 1y dy = -12 integral 1x dx
O que resulta em:
ln|y| = -12 ln|x| + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
y = e^-12 ln x + C = e^C cdot e^-12 ln x
Sabendo que y = C' x^-12 , temos:
onde é uma constante redefinida.

Passo 7

Finalmente, a equação das linhas de corrente é:
y = Craizx

Resposta

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