Para o campo de velocidade em que
, em que
e
, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores no primeiro quadrante.
R:
R:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade definido por
, onde
e
. As coordenadas
e
estão em metros. Nosso objetivo é encontrar a equação das linhas de corrente desse escoamento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a relação entre as componentes de velocidade e as linhas de corrente.
Passo 2
As linhas de corrente, ou linhas de fluxo, são trajetórias que uma partícula de fluido seguiria em um dado campo de velocidade. Para encontrar a equação dessas linhas, usamos a relação diferencial:
Aqui,
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos substituir as expressões de
e
na equação diferencial:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Integrando os dois lados:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Sabendo que
, temos:
onde
é uma constante redefinida.
Passo 7
Finalmente, a equação das linhas de corrente é:
Resposta
Exercícios relacionados
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades
e
são constantes):i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.(b)
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Qual é o número de Reynolds da água a
escoando a
através de um tubo de diâmetro
? Se agora o tubo for aquecido, a que temperatura média da água irá ocorrer a transição do escoamento para turbulento? Considere que a velocidade do escoamento permaneça constante.
A fem induzida sobre uma espira vale
, onde
e
é dado em segundos. Obtenha uma expressão para o fluxo magnético que atravessa a espira e calcule este fluxo em
, sabendo que para
o fluxo é nulo.
Uma espira circular, de raio
é colocada num campo magnético uniforme
, perpendicular ao plano da espira. O raio dessa espira começa a encolher a uma taxa constante
. qual é a fem induzida nessa espira?