O campo de velocidades de um fluido e F = x i + z j + y k. Encontre o escoamento ao longo da hélice r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + t k, com 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidades do fluido dado por . A missão é encontrar o escoamento desse campo ao longo de uma hélice descrita por , para . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha. Basicamente, ela calcula o quanto o campo F “flui” ao longo do caminho definido por r(t). Para isso, vamos parametrizar a hélice e substituir na expressão de F.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é . Isso vai nos dar o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na expressão de F:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos esse produto escalar de até :
Vamos resolver cada termo separadamente:
Somando tudo:

Resposta

O escoamento ao longo da hélice é .

Exercícios relacionados

Seja y = f(x) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0. Se f''(x) = x^3 + raiz(2) * (e^(2x) + e^(-2x)) / 2, determine a curvatura de C quando x = 0.
Nos itens 1 a 3, mostre que integralC f(z) d z=0 ( f e C serão especificados).
Encontre a circulação do campo F = (x - y) i + x j ao redor da circunferência r(t) (cos(t)) * i + (sen(t)) * j, com 0 <= t <= 2 pi.
Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral integralC f(z) d z ( f e C serão especificados).
f(z)=raizz+1 e C é qualquer arco que vai de -1-3 i a -1+5 i, passando a direita do ponto -1 . Especifique o ramo tomando f(0)=raiz1=-1 (lembre que 1=cos 0+i sin 0 e raiz1=cos k pi+i sin k pi, com k=0,1, nos dá duas raízes complexas, a saber, 1 e -1).