O campo de velocidades de um fluido e
. Encontre o escoamento ao longo da hélice
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidades do fluido dado por
. A missão é encontrar o escoamento desse campo ao longo de uma hélice descrita por , para
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha. Basicamente, ela calcula o quanto o campo
“flui” ao longo do caminho definido por
. Para isso, vamos parametrizar a hélice e substituir na expressão de
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos esse produto escalar de
até
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
O escoamento ao longo da hélice é
.