O campo de velocidades de um fluido e
. Encontre o escoamento ao longo da hélice
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidades do fluido dado por
. A missão é encontrar o escoamento desse campo ao longo de uma hélice descrita por , para
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha. Basicamente, ela calcula o quanto o campo
“flui” ao longo do caminho definido por
. Para isso, vamos parametrizar a hélice e substituir na expressão de
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos esse produto escalar de
até
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
O escoamento ao longo da hélice é
.
Exercícios relacionados
Seja
a equação de uma curva
que tem inclinação igual a 1 em
. Se
, determine a curvatura de
quando
.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
Encontre a circulação do campo
ao redor da circunferência
.
Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral
(
e
serão especificados).
e
é qualquer arco que vai de
a
, passando a direita do ponto -1 . Especifique o ramo tomando
(lembre que
e
,
, nos dá duas raízes complexas, a saber,
e
).