O campo de velocidades de um fluido e F = x i + z j + y k. Encontre o escoamento ao longo da hélice r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + t k, com 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidades do fluido dado por . A missão é encontrar o escoamento desse campo ao longo de uma hélice descrita por , para . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha. Basicamente, ela calcula o quanto o campo F “flui” ao longo do caminho definido por r(t). Para isso, vamos parametrizar a hélice e substituir na expressão de F.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é . Isso vai nos dar o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na expressão de F:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos esse produto escalar de até :
Vamos resolver cada termo separadamente:
Somando tudo:

Resposta

O escoamento ao longo da hélice é .

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