Encontre a circulação do campo
ao redor da circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a circulação do campo vetorial
ao redor de uma circunferência descrita por
, onde
. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente a integral de linha e o Teorema de Green para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha
. Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre o campo
e a derivada da parametrização da curva
em relação a
, e depois integrar isso de
a
.
Passo 3
Vamos encontrar
. Dada
, a derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
com as componentes de
. Então:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Porque
.
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
A integral de
sobre um período completo de
a
é zero, então:
Resposta
A circulação do campo
ao redor da circunferência é
.