Encontre a circulação do campo F = (x - y) i + x j ao redor da circunferência r(t) (cos(t)) * i + (sen(t)) * j, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a circulação do campo vetorial F = (x - y) i + x j ao redor de uma circunferência descrita por , onde . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente a integral de linha e o Teorema de Green para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha . Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre o campo F e a derivada da parametrização da curva r(t) em relação a t, e depois integrar isso de 0 a .

Passo 3

Vamos encontrar . Dada , a derivada em relação a t é:

Passo 4

Agora, substituímos x e y na função F com as componentes de r(t). Então:

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Porque .

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de 0 a :
A integral de sobre um período completo de 0 a é zero, então:

Resposta

A circulação do campo F ao redor da circunferência é .

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