Encontre a circulação do campo F = (x - y) i + x j ao redor da circunferência r(t) (cos(t)) * i + (sen(t)) * j, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a circulação do campo vetorial F = (x - y) i + x j ao redor de uma circunferência descrita por , onde . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente a integral de linha e o Teorema de Green para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha . Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre o campo F e a derivada da parametrização da curva r(t) em relação a t, e depois integrar isso de 0 a .

Passo 3

Vamos encontrar . Dada , a derivada em relação a t é:

Passo 4

Agora, substituímos x e y na função F com as componentes de r(t). Então:

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Porque .

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de 0 a :
A integral de sobre um período completo de 0 a é zero, então:

Resposta

A circulação do campo F ao redor da circunferência é .

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O campo de velocidades de um fluido e F = x i + z j + y k. Encontre o escoamento ao longo da hélice r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + t k, com 0 <= t <= pi / 2.
Seja y = f(x) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0. Se f''(x) = x^3 + raiz(2) * (e^(2x) + e^(-2x)) / 2, determine a curvatura de C quando x = 0.
Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral integralC f(z) d z ( f e C serão especificados).
f(z)=raizz+1 e C é qualquer arco que vai de -1-3 i a -1+5 i, passando a direita do ponto -1 . Especifique o ramo tomando f(0)=raiz1=-1 (lembre que 1=cos 0+i sin 0 e raiz1=cos k pi+i sin k pi, com k=0,1, nos dá duas raízes complexas, a saber, 1 e -1).
Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente:
F = xy i + y j - yz k Curva: r(t) = t i + t^2 j + t k com 0 <= t <= 1