O campo de velocidades, , satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de velocidades satisfaz a lei da conservação da massa para um fluído incompressível. Para isso, precisamos entender o que é a conservação da massa e como ela se aplica a fluidos incompressíveis.

Passo 2

A lei da conservação da massa para um fluído incompressível diz que a divergência do campo de velocidades deve ser igual a zero. Isso significa que o fluido não está se acumulando nem se esvaindo em nenhum ponto. A divergência é um conceito da cálculo vetorial que nos ajuda a medir quanto um campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo de velocidades . A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
onde , e são as componentes de nas direções , e respectivamente.

Passo 4

Identificando as componentes do campo de velocidades:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável.

Passo 5

Calculando as derivadas:

Passo 6

Somando as derivadas para encontrar a divergência:

Resposta

Sim, o campo de velocidades satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível.

Exercícios relacionados

Um campo de velocidades é proposto como sendo: ) e
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão , assumindo o eixo na vertical
A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por: e . Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.
Mercúrio a escoa com uma velocidade de sobre uma placa plana, cujo comprimento é e largura , sendo mantida a uma temperatura constante de .
a) Determine o valor do coeficiente médio de convecção (h) sobre a placa.
b) Determine a taxa de transferência de calor de toda a placa. R.: 710,85 kW
Ar atmosférico, na temperatura de 275 K , escoa transversalmente sobre um fio elétrico de 1 mm de diâmetro, mantido a uma temperatura superficial de 325 K . Se o fio dissipa , calcule a velocidade da corrente livre .