O campo de velocidades,
, satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de velocidades
satisfaz a lei da conservação da massa para um fluído incompressível. Para isso, precisamos entender o que é a conservação da massa e como ela se aplica a fluidos incompressíveis.
Passo 2
A lei da conservação da massa para um fluído incompressível diz que a divergência do campo de velocidades deve ser igual a zero. Isso significa que o fluido não está se acumulando nem se esvaindo em nenhum ponto. A divergência é um conceito da cálculo vetorial que nos ajuda a medir quanto um campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo de velocidades
. A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
onde
,
e
são as componentes de
nas direções
,
e
respectivamente.
Passo 4
Identificando as componentes do campo de velocidades:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Somando as derivadas para encontrar a divergência:
Resposta
Sim, o campo de velocidades satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível.