O campo de velocidades, u=(5 x) i+(5 y) j+(-10 z) k, satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de velocidades satisfaz a lei da conservação da massa para um fluído incompressível. Para isso, precisamos entender o que é a conservação da massa e como ela se aplica a fluidos incompressíveis.

Passo 2

A lei da conservação da massa para um fluído incompressível diz que a divergência do campo de velocidades deve ser igual a zero. Isso significa que o fluido não está se acumulando nem se esvaindo em nenhum ponto. A divergência é um conceito da cálculo vetorial que nos ajuda a medir quanto um campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo de velocidades nabla cdot u = partial uxpartial x + partial uypartial y + partial uzpartial z . A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
onde , e são as componentes de nas direções , e respectivamente.

Passo 4

Identificando as componentes do campo de velocidades:
ux = 5x uy = 5y uz = -10z
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial uxpartial x = partial (5x)partial x = 5 partial uypartial y = partial (5y)partial y = 5 partial uzpartial z = partial (-10z)partial z = -10

Passo 6

Somando as derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot u = 5 + 5 - 10 = 0

Resposta

Sim, o campo de velocidades satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível.

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