Um campo vetorial está definido em coordenadas cartesianas. Determine o rotacional . Calcule o rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional do campo vetorial em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar a definição de rotacional que envolve derivadas parciais dos componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas. A fórmula é:
Essa fórmula nos mostra como calcular cada componente do rotacional usando derivadas parciais dos componentes , e do campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes , e do campo vetorial dado:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar na fórmula do rotacional:
Para a componente i:
partial Rpartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y
partial Qpartial z = partialpartial z (y z) = y
Para a componente j:
partial Ppartial z = partialpartial z (x z) = x
partial Rpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
Para a componente k:
partial Qpartial x = partialpartial x (y z) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (x z) = 0
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times A = (2y - y) i + (x - 2x) j + (0 - 0) k