Um campo vetorial está definido em coordenadas cartesianas. Determine o rotacional . Calcule o rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional do campo vetorial em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar a definição de rotacional que envolve derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas. A fórmula é:
Essa fórmula nos mostra como calcular cada componente do rotacional usando derivadas parciais dos componentes , e do campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes , e do campo vetorial dado:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar na fórmula do rotacional:
  1. Para a componente :
  2. Para a componente :
  3. Para a componente :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O rotacional é .

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b - O ângulo que forma com o eixo .
Considere os vetores e . Resolva:
c - Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano definido por e , usando .