Um campo vetorial A(x, y, z)=x z i+y z j+(x^2+y^2) k está definido em coordenadas cartesianas. Determine o rotacional nabla times A. Calcule o rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional do campo vetorial A(x, y, z) = x z i + y z j + (x^2 + y^2) k em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar a definição de rotacional que envolve derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial A = P i + Q j + R k em coordenadas cartesianas. A fórmula é:
nabla times A = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Essa fórmula nos mostra como calcular cada componente do rotacional usando derivadas parciais dos componentes P, Q e R do campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes P, Q e R do campo vetorial dado:
P = x z Q = y z R = x^2 + y^2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar na fórmula do rotacional:
  1. Para a componente i:
    partial Rpartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y
    partial Qpartial z = partialpartial z (y z) = y
  2. Para a componente j:
    partial Ppartial z = partialpartial z (x z) = x
    partial Rpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
  3. Para a componente k:
    partial Qpartial x = partialpartial x (y z) = 0
    partial Ppartial y = partialpartial y (x z) = 0

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times A = (2y - y) i + (x - 2x) j + (0 - 0) k
Simplificando:
nabla times A = y i - x j + 0 k

Resposta

O rotacional é nabla times A = y i - x j.

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