Considere os vetores C=4 i+2 j-k e D=-i+3 j+6 k. Resolva:
c - Encontre o vetor unitário n perpendicular ao plano definido por C e D, usando n=C times D|C times D|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, C=4 i+2 j-k e D=-i+3 j+6 k. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um vetor unitário n que seja perpendicular ao plano formado por esses dois vetores. Pra isso, vamos usar a fórmula do produto vetorial: n=C times D|C times D|. Então, vamos precisar calcular o produto vetorial de C e D e depois dividir esse vetor pelo seu módulo para transformar em unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial C times D. O produto vetorial entre dois vetores C = Cx i + Cy j + Cz k e D = Dx i + Dy j + Dz k é dado por:
C times D = i & j & k Cx & Cy & Cz Dx & Dy & Dz
Aplicando essa fórmula com nossos vetores:
C times D = i & j & k 4 & 2 & -1 -1 & 3 & 6
Vamos expandir isso:
C times D = i(2 cdot 6 - (-1) cdot 3) - j(4 cdot 6 - (-1) cdot (-1)) + k(4 cdot 3 - 2 cdot (-1))
Simplificando cada componente:
  • Para i: 2 cdot 6 = 12 e (-1) cdot 3 = -3, então 12 - (-3) = 15
  • Para j: 4 cdot 6 = 24 e (-1) cdot (-1) = 1, então 24 - 1 = 23
  • Para k: 4 cdot 3 = 12 e 2 cdot (-1) = -2, então 12 - (-2) = 14
Portanto:
C times D = 15 i - 23 j + 14 k

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo desse vetor resultante, |C times D|. A fórmula do módulo de um vetor V = Vx i + Vy j + Vz k é:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|C times D| = raiz15^2 + (-23)^2 + 14^2 = raiz225 + 529 + 196 = raiz950
Podemos simplificar raiz950 para ter uma ideia melhor:
raiz950 approx 30,82

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar o vetor unitário n dividindo cada componente do produto vetorial pelo seu módulo:
n = C times D|C times D| = 15 i - 23 j + 14 k30,82
Fazendo a divisão:
  • Componente i: 1530,82 approx 0,486
  • Componente j: -2330,82 approx -0,746
  • Componente k: 1430,82 approx 0,454
Portanto:
n approx 0,486 i - 0,746 j + 0,454 k

Resposta

O vetor unitário perpendicular ao plano definido por C e D é aproximadamente n = 0,486 i - 0,746 j + 0,454 k.

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