Considere um campo escalar . Calcule o gradiente de e avalie-o no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o gradiente de um campo escalar dado por e depois avaliar esse gradiente no ponto . Aqui, o conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o gradiente e como calculá-lo a partir de uma função escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a nossa , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujo módulo é a taxa de variação máxima nessa direção. Matematicamente, ele é calculado usando as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de com respeito a , e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é dado pelo vetor que junta todas essas derivadas. Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar esse gradiente no ponto . Basta substituir , e na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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Considerando o campo escalar em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano .
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