Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o gradiente de um campo escalar dado por
e depois avaliar esse gradiente no ponto
. Aqui, o conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o gradiente e como calculá-lo a partir de uma função escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a nossa
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujo módulo é a taxa de variação máxima nessa direção. Matematicamente, ele é calculado usando as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
com respeito a
,
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
é dado pelo vetor que junta todas essas derivadas. Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar esse gradiente no ponto
. Basta substituir
,
e
na expressão do gradiente:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.
a - Determine o elemento de área
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro.
b - Calcule o fluxo do campo vetorial
Considerando o campo escalar
em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano
.
Um campo vetorial
está definido em coordenadas cartesianas. Determine o rotacional
. Calcule o rotacional em coordenadas cartesianas.