Considere um campo escalar phi(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Calcule o gradiente de phi e avalie-o no ponto P(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o gradiente de um campo escalar dado por phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e depois avaliar esse gradiente no ponto P(1,2,3). Aqui, o conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o gradiente e como calculá-lo a partir de uma função escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a nossa phi(x, y, z), é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujo módulo é a taxa de variação máxima nessa direção. Matematicamente, ele é calculado usando as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 com respeito a x, y e z.
  • Derivada parcial em relação a x:
    partial phipartial x = 2x
  • Derivada parcial em relação a y:
    partial phipartial y = 2y
  • Derivada parcial em relação a z:
    partial phipartial z = 2z

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de phi é dado pelo vetor que junta todas essas derivadas. Então, temos:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z ) = (2x, 2y, 2z)

Passo 5

Agora, precisamos avaliar esse gradiente no ponto P(1,2,3). Basta substituir x=1, y=2 e z=3 na expressão do gradiente:
nabla phi (1,2,3) = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 2 cdot 3) = (2, 4, 6)

Resposta

O gradiente de phi no ponto P(1,2,3) é nabla phi (1,2,3) = (2, 4, 6).

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