Considerando o campo escalar em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar dado por em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é calcular o Laplaciano desse campo, que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em coordenadas esféricas e conhecer a fórmula do Laplaciano nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas. O Laplaciano de uma função é dado por:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Multiplicamos por e derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :
E derivamos novamente em relação a :

Passo 6

Agora, vamos reunir tudo na fórmula do Laplaciano:
Simplificando cada termo:

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
Vamos simplificar o segundo termo:
E somando com o terceiro termo:
Então, substituindo de volta:

Resposta

O Laplaciano de é .

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a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.
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Dado o vetor , determine:
b - O ângulo que forma com o eixo .