Considerando o campo escalar
em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar dado por
em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é calcular o Laplaciano desse campo, que é representado por
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em coordenadas esféricas e conhecer a fórmula do Laplaciano nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas. O Laplaciano de uma função
é dado por:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Multiplicamos por
e derivamos em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
E derivamos novamente em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos reunir tudo na fórmula do Laplaciano:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, somamos todos os termos:
Vamos simplificar o segundo termo:
E somando com o terceiro termo:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O Laplaciano de
é
.
Exercícios relacionados
Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.
a - Determine o elemento de área
Um campo vetorial
está definido em coordenadas cartesianas. Determine o rotacional
. Calcule o rotacional em coordenadas cartesianas.
Dado o vetor
, determine:
b - O ângulo que forma com o eixo
.
b - O ângulo que