Considerando o campo escalar psi(r, theta, phi)=r^2 sin theta cos phi em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano nabla^2 psi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar dado por em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é calcular o Laplaciano desse campo, que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em coordenadas esféricas e conhecer a fórmula do Laplaciano nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas. O Laplaciano de uma função nabla^2 psi = 1r^2 partialpartial r( r^2 partial psipartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partial psipartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2 psipartial phi^2 é dado por:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de partial psipartial r = partialpartial r ( r^2 sin theta cos phi ) = 2r sin theta cos phi em relação a partialpartial r ( r^2 partial psipartial r ) = partialpartial r ( r^2 cdot 2r sin theta cos phi ) = partialpartial r ( 2r^3 sin theta cos phi ) = 6r^2 sin theta cos phi :
Agora, multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial psipartial theta = partialpartial theta ( r^2 sin theta cos phi ) = r^2 cos theta cos phi em relação a partialpartial theta ( sin theta partial psipartial theta ) = partialpartial theta ( sin theta cdot r^2 cos theta cos phi ) = partialpartial theta ( r^2 sin theta cos theta cos phi ) = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) cos phi :
Multiplicamos por e derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial psipartial phi = partialpartial phi ( r^2 sin theta cos phi ) = -r^2 sin theta sin phi em relação a partial^2 psipartial phi^2 = partialpartial phi ( -r^2 sin theta sin phi ) = -r^2 sin theta cos phi :
E derivamos novamente em relação a :

Passo 6

Agora, vamos reunir tudo na fórmula do Laplaciano:
nabla^2 psi = 1r^2 cdot 6r^2 sin theta cos phi + 1r^2 sin theta cdot r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) cos phi + 1r^2 sin^2 theta cdot (-r^2 sin theta cos phi)
Simplificando cada termo:

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
nabla^2 psi = 6 sin theta cos phi + cos^2 theta - sin^2 thetasin theta cos phi - 1sin theta cos phi
Vamos simplificar o segundo termo:
cos^2 theta - sin^2 thetasin theta cos phi = ( cos^2 thetasin theta - sin theta ) cos phi
E somando com o terceiro termo:
( cos^2 thetasin theta - sin theta ) cos phi - 1sin theta cos phi = cos^2 theta - 1sin theta cos phi - sin theta cos phi = -sin^2 thetasin theta cos phi - sin theta cos phi = -2 sin theta cos phi
Então, substituindo de volta:
nabla^2 psi = 6 sin theta cos phi - 2 sin theta cos phi = 4 sin theta cos phi

Resposta

O Laplaciano de é .

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