Um campo vetorial é chamado de campo vetorial conservativo se ele satisfaz algumas propriedades, como por exemplo são independentes do caminho, e as integrais de linha em circuito fechado săo semprenulas, além de ser irrotacional. Demonstre se o campo vetorial abaixo é conservativo.
V = 3 y x i - 6 y x j + 8 x z^4 k

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício de Cálculo de Campos Vetoriais, especificamente sobre determinar se um campo vetorial é conservativo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e utilizar o conceito de rotacional (ou curl) do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é considerado conservativo se ele for irrotacional, ou seja, se o rotacional do campo for igual a zero. O rotacional, denotado por , nos ajuda a verificar se o campo tem alguma “rotação” interna. Se o rotacional for zero em todos os pontos do campo, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial dado:
O rotacional de V é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada parte:
Substituindo esses valores na expressão do rotacional:

Passo 4

Observamos que o rotacional de V não é igual a zero, já que contém termos e . Isso significa que o campo vetorial V possui rotação interna e, consequentemente, não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois seu rotacional não é igual a zero.

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