Um campo vetorial é uma funçâo que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar e o campo de velocidades de um fluido. Um fluido è um meio continuo, e isto se reflete na variaçào continua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido. Matematicamente, um campo vetorial é uma funçăo F: R^3 -> R^3. Considere uma funçalo Ω, que descreve o comportamento tridimensional do escoamento do fluido:
Ω = y * x^3 - 3 * x * y^2 + 4 * x * z^2
Prove que, utilizando todas as ferrramentas necessáriais, se essa funçåo escalar, è uma funçào potencial do campo vetorial velocidade do fluido V = 3 y x i - 6 y x j + 8 x z' k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função escalar é uma função potencial para o campo vetorial velocidade do fluido . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e funções potenciais. Vamos precisar calcular os derivados parciais da função e comparar com os componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é dito conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o operador gradiente. Isso significa que cada componente de é a derivada parcial de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos comparar essas derivadas com os componentes do campo vetorial . O campo é dado por:
Notamos que há um possível erro de digitação no termo . Vamos assumir que seja para prosseguir.

Passo 5

Comparando as derivadas:
E os componentes de são:

Passo 6

Vemos que as derivadas parciais de não correspondem exatamente aos componentes de . Em particular, os termos de e diferem. Para que seja uma função potencial de , deveríamos ter:
Contudo, não é o caso.

Passo 7

Portanto, concluímos que a função escalar não é uma função potencial para o campo vetorial .

Resposta

A função não é uma função potencial do campo vetorial .

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