Um campo vetorial é uma funçâo que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar e o campo de velocidades de um fluido. Um fluido è um meio continuo, e isto se reflete na variaçào continua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido. Matematicamente, um campo vetorial é uma funçăo
. Considere uma funçalo
, que descreve o comportamento tridimensional do escoamento do fluido:
Prove que, utilizando todas as ferrramentas necessáriais, se essa funçåo escalar, è uma funçào potencial do campo vetorial velocidade do fluido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função escalar
é uma função potencial para o campo vetorial velocidade do fluido
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e funções potenciais. Vamos precisar calcular os derivados parciais da função
e comparar com os componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial
é dito conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o operador gradiente. Isso significa que cada componente de
é a derivada parcial de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos comparar essas derivadas com os componentes do campo vetorial
. O campo
é dado por:
Notamos que há um possível erro de digitação no termo
. Vamos assumir que seja
para prosseguir.
Passo 5
Comparando as derivadas:
E os componentes de
são:
Passo 6
Vemos que as derivadas parciais de
não correspondem exatamente aos componentes de
. Em particular, os termos de
e
diferem. Para que
seja uma função potencial de
, deveríamos ter:
Contudo, não é o caso.
Passo 7
Portanto, concluímos que a função escalar
não é uma função potencial para o campo vetorial
.
Resposta
A função
não é uma função potencial do campo vetorial
.