Um campo vetorial é uma funçâo que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. O exemplo mais concreto e elementar e o campo de velocidades de um fluido. Um fluido è um meio continuo, e isto se reflete na variaçào continua dos valores da velocidade, quando se percorre o fluido. Matematicamente, um campo vetorial é uma funçăo . Considere uma funçalo , que descreve o comportamento tridimensional do escoamento do fluido:
Prove que, utilizando todas as ferrramentas necessáriais, se essa funçåo escalar, è uma funçào potencial do campo vetorial velocidade do fluido

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função escalar é uma função potencial para o campo vetorial velocidade do fluido . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e funções potenciais. Vamos precisar calcular os derivados parciais da função e comparar com os componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é dito conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o operador gradiente. Isso significa que cada componente de é a derivada parcial de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos comparar essas derivadas com os componentes do campo vetorial . O campo é dado por:
Notamos que há um possível erro de digitação no termo . Vamos assumir que seja para prosseguir.

Passo 5

Comparando as derivadas:
E os componentes de são:

Passo 6

Vemos que as derivadas parciais de não correspondem exatamente aos componentes de . Em particular, os termos de e diferem. Para que seja uma função potencial de , deveríamos ter:
Contudo, não é o caso.

Passo 7

Portanto, concluímos que a função escalar não é uma função potencial para o campo vetorial .

Resposta

A função não é uma função potencial do campo vetorial .

Exercícios relacionados

Em um frigorifico na cidade de Escada, apresenta uma câmara de refrigeraçăo com de comprimento, de largura de altura. Em inicio de operaçăo, no periodo das festas natalinas a temperatura, em , è determinada pela funçăo . Determine a direçăo do aumento da temperatura.
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Um campo vetorial é chamado de campo vetorial conservativo se ele satisfaz algumas propriedades, como por exemplo são independentes do caminho, e as integrais de linha em circuito fechado săo semprenulas, além de ser irrotacional. Demonstre se o campo vetorial abaixo é conservativo.
Considere a tabela abaixo
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2 -1.5 0 0.5 1.5 2
Encontre uma função linear que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados. Esboce a função linear juntamente com os pontos da tabela;