O campo vetorial , dado por
para e constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de , e , caso A não o seja.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por , onde , e são constantes. A pergunta é: esse vetor é constante? E se não for, a gente precisa escrever um vetor constante usando as direções , e . Vamos usar conceitos de coordenadas cilíndricas e campos vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser constante. Um vetor constante tem a mesma magnitude e direção em todos os pontos do espaço. Ou seja, seus componentes não dependem da posição.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. As direções e mudam de direção quando a posição muda. Enquanto é constante ao longo do eixo .

Passo 4

Para verificar se é constante, vamos analisar seus componentes. Embora , e sejam constantes, as direções e dependem do ângulo , que varia com a posição. Portanto, muda de direção conforme muda, o que significa que não é um vetor constante.

Passo 5

Como não é constante, vamos construir um vetor constante usando as direções , e . Para isso, precisamos que o vetor não dependa da posição, o que significa que ele só pode ter componente na direção , já que as outras direções variam com .

Resposta

Um vetor constante em coordenadas cilíndricas é .

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