O campo vetorial
, dado por
para
e
constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de
,
e
, caso A não o seja.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial
definido por
, onde
,
e
são constantes. A pergunta é: esse vetor é constante? E se não for, a gente precisa escrever um vetor constante usando as direções
,
e
. Vamos usar conceitos de coordenadas cilíndricas e campos vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser constante. Um vetor constante tem a mesma magnitude e direção em todos os pontos do espaço. Ou seja, seus componentes não dependem da posição.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o campo vetorial
dado em coordenadas cilíndricas. As direções
e
mudam de direção quando a posição muda. Enquanto
é constante ao longo do eixo
.
Passo 4
Para verificar se
é constante, vamos analisar seus componentes. Embora
,
e
sejam constantes, as direções
e
dependem do ângulo
, que varia com a posição. Portanto,
muda de direção conforme
muda, o que significa que
não é um vetor constante.
Passo 5
Como
não é constante, vamos construir um vetor constante usando as direções
,
e
. Para isso, precisamos que o vetor não dependa da posição, o que significa que ele só pode ter componente na direção
, já que as outras direções variam com
.
Resposta
Um vetor constante em coordenadas cilíndricas é
.
Exercícios relacionados
Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã
As relações inversas são
Os versores (vetores unitários)
e
do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
Usando as relações acima, reescreva o gradiente
em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.
Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Seja
um campo vetorial. Mostre que
em que
é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente
de
. Generalize para as outras componentes por analogia.
Mostre, usando o Teorema de Gauss para um campo vetorial do tipo
, com
constante, que