Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã ^11
rho & =raizx^2+y^2 varphi & =arctan (yx)
As relações inversas são
x & =rho cos varphi y & =rho sin varphi
Os versores (vetores unitários) rho e varphi do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
rho & =x cos varphi+y sin varphi varphi & =-x sin varphi+y cos varphi
Usando as relações acima, reescreva o gradiente nabla psi em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial que envolve coordenadas cilíndricas e cartesianas. O objetivo é reescrever o gradiente de uma função , que originalmente está em coordenadas cartesianas, para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as relações entre as duas coordenadas que foram fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o gradiente em coordenadas cartesianas. O gradiente de uma função nabla psi = partial psipartial x x + partial psipartial y y + partial psipartial z z é dado por:
No nosso caso, como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, vamos focar nas variáveis , e .

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais e em termos das coordenadas cilíndricas e . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite mudar de variáveis nas derivadas.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
partial psipartial x = partial psipartial rho partial rhopartial x + partial psipartial varphi partial varphipartial x
E de forma similar para partial psipartial y = partial psipartial rho partial rhopartial y + partial psipartial varphi partial varphipartial y :

Passo 5

Vamos agora calcular as derivadas parciais de rho = raizx^2 + y^2 e varphi = arctan(yx) e partial rhopartial x = xrho, partial rhopartial y = yrho em relação a partial varphipartial x = -yrho^2, partial varphipartial y = xrho^2 e . Sabemos que:
Então,
E,

Passo 6

Substituindo essas derivadas nas expressões do Passo 4, temos:
partial psipartial x = partial psipartial rho cdot xrho + partial psipartial varphi cdot (-yrho^2)
partial psipartial y = partial psipartial rho cdot yrho + partial psipartial varphi cdot xrho^2

Passo 7

Agora, vamos reescrever o gradiente nabla psi = ( partial psipartial rho cdot xrho - partial psipartial varphi cdot yrho^2 ) x + ( partial psipartial rho cdot yrho + partial psipartial varphi cdot xrho^2 ) y + partial psipartial z z substituindo e pelas expressões acima:

Passo 8

Para expressar isso em coordenadas cilíndricas, usamos as relações dos versores:
rho = x cos varphi + y sin varphi
varphi = -x sin varphi + y cos varphi
Vamos reorganizar os termos para obter o gradiente em coordenadas cilíndricas.

Passo 9

Após reorganizar e simplificar, chegamos à expressão do gradiente em coordenadas cilíndricas:
nabla psi = partial psipartial rho rho + 1rho partial psipartial varphi varphi + partial psipartial z z

Resposta

Portanto, o gradiente nabla psi = partial psipartial rho rho + 1rho partial psipartial varphi varphi + partial psipartial z z em coordenadas cilíndricas fica:

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