Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã
As relações inversas são
Os versores (vetores unitários)
e
do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
Usando as relações acima, reescreva o gradiente
em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial que envolve coordenadas cilíndricas e cartesianas. O objetivo é reescrever o gradiente de uma função
, que originalmente está em coordenadas cartesianas, para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as relações entre as duas coordenadas que foram fornecidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definido o gradiente em coordenadas cartesianas. O gradiente de uma função
é dado por:
No nosso caso, como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, vamos focar nas variáveis
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas parciais
e
em termos das coordenadas cilíndricas
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite mudar de variáveis nas derivadas.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
E de forma similar para
:
Passo 5
Vamos agora calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Sabemos que:
Então,
E,
Passo 6
Substituindo essas derivadas nas expressões do Passo 4, temos:
Passo 7
Agora, vamos reescrever o gradiente
substituindo
e
pelas expressões acima:
Passo 8
Para expressar isso em coordenadas cilíndricas, usamos as relações dos versores:
Vamos reorganizar os termos para obter o gradiente em coordenadas cilíndricas.
Passo 9
Após reorganizar e simplificar, chegamos à expressão do gradiente em coordenadas cilíndricas:
Resposta
Portanto, o gradiente
em coordenadas cilíndricas fica:
Exercícios relacionados
Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Para um campo vetorial
, calcule o fluxo através de um cubo de aresta
, com centro na origem, por dois meios diferentes: diretamente; através do teorema de Gauss. Faça o mesmo para um campo vetorial do tipo
.
O campo vetorial
, dado por
para
e
constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de
,
e
, caso A não o seja.
Seja
um campo vetorial. Mostre que
em que
é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente
de
. Generalize para as outras componentes por analogia.