Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã
As relações inversas são
Os versores (vetores unitários) e do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
Usando as relações acima, reescreva o gradiente em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial que envolve coordenadas cilíndricas e cartesianas. O objetivo é reescrever o gradiente de uma função , que originalmente está em coordenadas cartesianas, para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as relações entre as duas coordenadas que foram fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o gradiente em coordenadas cartesianas. O gradiente de uma função é dado por:
No nosso caso, como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, vamos focar nas variáveis , e .

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais e em termos das coordenadas cilíndricas e . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite mudar de variáveis nas derivadas.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
E de forma similar para :

Passo 5

Vamos agora calcular as derivadas parciais de e em relação a e . Sabemos que:
Então,
E,

Passo 6

Substituindo essas derivadas nas expressões do Passo 4, temos:

Passo 7

Agora, vamos reescrever o gradiente substituindo e pelas expressões acima:

Passo 8

Para expressar isso em coordenadas cilíndricas, usamos as relações dos versores:
Vamos reorganizar os termos para obter o gradiente em coordenadas cilíndricas.

Passo 9

Após reorganizar e simplificar, chegamos à expressão do gradiente em coordenadas cilíndricas:

Resposta

Portanto, o gradiente em coordenadas cilíndricas fica:

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