Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(i) r^n r
(ii) a(r cdot b)
(iii) c times r
(iv) rr^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente e o rotacional de alguns campos vetoriais específicos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergente e rotacional, além de usar algumas fórmulas de cálculo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergente e rotacional:
  • Divergente ( nabla cdot F): Mede o quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
  • Rotacional ( nabla times F): Mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Agora, vamos aplicar isso aos campos vetoriais apresentados.

Passo 3

Parte (i): r^n r
Aqui, F = r^n r, onde r é o vetor unitário radial.
Para calcular o divergente:
nabla cdot F = 1r^2 partialpartial r (r^2 Fr)
Substituindo Fr = r^n:
nabla cdot F = 1r^2 partialpartial r (r^2 cdot r^n) = 1r^2 partialpartial r (r^n+2) = 1r^2 (n+2) r^n+1 = (n+2) r^n-1
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de r, o rotacional será zero:
nabla times F = 0

Passo 4

Parte (ii): F = a (r cdot b)
Aqui, a e b são vetores constantes, e r é o vetor posição.
Para o divergente:
Usamos a propriedade que nabla cdot (a (r cdot b)) = a cdot nabla (r cdot b) = a cdot b
Para o rotacional:
Usamos a regra do rotacional de um produto escalar com um vetor constante:
nabla times (a (r cdot b)) = a times (nabla (r cdot b)) = a times b

Passo 5

Parte (iii): F = c times r
Aqui, c é um vetor constante.
Para o divergente:
O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
nabla cdot (c times r) = 0
Para o rotacional:
Usamos a identidade nabla times (c times r) = c (nabla cdot r) - (c cdot nabla) r
Sabendo que nabla cdot r = 3 e (c cdot nabla) r = c:
nabla times (c times r) = c cdot 3 - c = 2c

Passo 6

Parte (iv): F = rr^2
Aqui, r = r r, então F = rr.
Para o divergente:
Usamos a fórmula do divergente em coordenadas esféricas:
nabla cdot F = 1r^2 partialpartial r (r^2 cdot 1r) = 1r^2 partialpartial r (r) = 1r^2 cdot 1 = 1r^2
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de r, o rotacional será zero:
nabla times F = 0

Resposta

As divergentes e rotacionais dos campos vetoriais são:
i) nabla cdot (r^n r) = (n+2) r^n-1 e nabla times (r^n r) = 0
ii) nabla cdot (a (r cdot b)) = a cdot b e nabla times (a (r cdot b)) = a times b
iii) nabla cdot (c times r) = 0 e nabla times (c times r) = 2c
iv) nabla cdot (rr^2) = 1r^2 e nabla times (rr^2) = 0

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