Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente e o rotacional de alguns campos vetoriais específicos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergente e rotacional, além de usar algumas fórmulas de cálculo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergente e rotacional:
  • Divergente ( ): Mede o quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
  • Rotacional ( ): Mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Agora, vamos aplicar isso aos campos vetoriais apresentados.

Passo 3

Parte (i):
Aqui, , onde é o vetor unitário radial.
Para calcular o divergente:
Substituindo :
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de , o rotacional será zero:

Passo 4

Parte (ii):
Aqui, e são vetores constantes, e é o vetor posição.
Para o divergente:
Usamos a propriedade que
Para o rotacional:
Usamos a regra do rotacional de um produto escalar com um vetor constante:

Passo 5

Parte (iii):
Aqui, é um vetor constante.
Para o divergente:
O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Para o rotacional:
Usamos a identidade
Sabendo que e :

Passo 6

Parte (iv):
Aqui, , então .
Para o divergente:
Usamos a fórmula do divergente em coordenadas esféricas:
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de , o rotacional será zero:

Resposta

As divergentes e rotacionais dos campos vetoriais são:
i) e
ii) e
iii) e
iv) e

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