Considerando a, b e c vetores constantes, calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente e o rotacional de alguns campos vetoriais específicos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergente e rotacional, além de usar algumas fórmulas de cálculo vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergente e rotacional:
- Divergente (
): Mede o quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto. - Rotacional (
): Mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Agora, vamos aplicar isso aos campos vetoriais apresentados.
Passo 3
Parte (i):
Aqui,
, onde
é o vetor unitário radial.
Para calcular o divergente:
Substituindo
:
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de , o rotacional será zero:
Como o campo é radial e depende apenas de
Passo 4
Parte (ii):
Aqui,
e
são vetores constantes, e
é o vetor posição.
Para o divergente:
Usamos a propriedade que
Usamos a propriedade que
Para o rotacional:
Usamos a regra do rotacional de um produto escalar com um vetor constante:
Usamos a regra do rotacional de um produto escalar com um vetor constante:
Passo 5
Parte (iii):
Aqui,
é um vetor constante.
Para o divergente:
O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Para o rotacional:
Usamos a identidade
Sabendo que e
:
Usamos a identidade
Sabendo que
Passo 6
Parte (iv):
Aqui,
, então
.
Para o divergente:
Usamos a fórmula do divergente em coordenadas esféricas:
Usamos a fórmula do divergente em coordenadas esféricas:
Para o rotacional:
Como o campo é radial e depende apenas de , o rotacional será zero:
Como o campo é radial e depende apenas de
Resposta
As divergentes e rotacionais dos campos vetoriais são:
i)
e
ii)
e
iii)
e
iv)
e
Exercícios relacionados
Para um campo vetorial
, calcule o fluxo através de um cubo de aresta
, com centro na origem, por dois meios diferentes: diretamente; através do teorema de Gauss. Faça o mesmo para um campo vetorial do tipo
.
Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã
As relações inversas são
Os versores (vetores unitários)
e
do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
Usando as relações acima, reescreva o gradiente
em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.
O campo vetorial
, dado por
para
e
constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de
,
e
, caso A não o seja.