Seja um campo vetorial. Mostre que
em que é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente de . Generalize para as outras componentes por analogia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que, para um campo vetorial , a expressão é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional ( ) e a divergência ( ) de campos vetoriais, além do Laplaciano ( ). Vamos precisar usar as definições dessas operações em coordenadas cartesianas e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do rotacional de , ou seja, . Vamos começar pela componente . Lembrando que o rotacional de um vetor é dado por:
Aplicando isso duas vezes, vamos primeiro calcular e depois o rotacional desse resultado.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular o rotacional desse vetor resultante, ou seja, .

Passo 4

Calculando , temos:

Passo 5

Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Observando que as segundas derivadas mistas são comutativas (ou seja, ), podemos reorganizar os termos:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos considerar as expressões para e .
A divergência de é:
Então,
E o Laplaciano de é:

Passo 8

Vamos calcular para cada componente:
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Comparando com o que obtivemos para :
Para :
Rearranjando:
Mas isso não parece correto. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 10

Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos ajustar os termos corretamente.
Após simplificar , obtemos:
Agora, ao calcular , obtemos:
Perceba que os termos correspondentes agora são iguais, confirmando que:

Resposta

Assim, mostramos que é igual a .

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