Seja
um campo vetorial. Mostre que
em que
é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente
de
. Generalize para as outras componentes por analogia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que, para um campo vetorial
, a expressão
é igual a
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (
) e a divergência (
) de campos vetoriais, além do Laplaciano (
). Vamos precisar usar as definições dessas operações em coordenadas cartesianas e aplicar regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do rotacional de
, ou seja,
. Vamos começar pela componente
. Lembrando que o rotacional de um vetor
é dado por:
Aplicando isso duas vezes, vamos primeiro calcular
e depois o rotacional desse resultado.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular o rotacional desse vetor resultante, ou seja,
.
Passo 4
Calculando
, temos:
Passo 5
Simplificando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Observando que as segundas derivadas mistas são comutativas (ou seja,
), podemos reorganizar os termos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos considerar as expressões para
e
.
A divergência de
é:
Então,
E o Laplaciano de
é:
Passo 8
Vamos calcular
para cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Comparando com o que obtivemos para
:
Para
:
Rearranjando:
Mas isso não parece correto. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 10
Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos ajustar os termos corretamente.
Após simplificar
, obtemos:
Agora, ao calcular
, obtemos:
Perceba que os termos correspondentes agora são iguais, confirmando que:
Resposta
Assim, mostramos que
é igual a
.
Exercícios relacionados
O campo vetorial
, dado por
para
e
constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de
,
e
, caso A não o seja.
Em coordenadas cilíndricas, as relações entre estas e as coordenadas cartesianas sã
As relações inversas são
Os versores (vetores unitários)
e
do sistema de coordenadas cilíndricas podem ser escritos em termos dos versores cartesianos da seguinte maneira:
Usando as relações acima, reescreva o gradiente
em coordenadas cilíndricas - use a regra da Cadeia.
Mostre, usando o Teorema de Gauss para um campo vetorial do tipo
, com
constante, que
Prove que o fluxo de um campo vetorial do tipo
através de uma superfície fechada é nulo. Faça isso dividindo a superfície em duas partes para, em seguida, usar o Teorema de Stokes.