O campo vetorial é conservativo? Por quê ou por que não?

Passo 1

Vamos analisar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Para verificar isso, vamos utilizar o conceito de rotacional. Se o rotacional de for igual a zero em todo o espaço, então é conservativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:

Passo 3

Vamos identificar , e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:

Passo 4

Observamos que o rotacional de é . Para que seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todo o espaço. No entanto, não é zero a menos que . Portanto, o rotacional de não é zero em todas as posições.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque seu rotacional é , que não é zero em todo o espaço.

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