O campo vetorial
é conservativo? Por quê ou por que não?
Passo 1
Vamos analisar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Para verificar isso, vamos utilizar o conceito de rotacional. Se o rotacional de
for igual a zero em todo o espaço, então
é conservativo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Passo 3
Vamos identificar
,
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Passo 4
Observamos que o rotacional de
é
. Para que
seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todo o espaço. No entanto,
não é zero a menos que
. Portanto, o rotacional de
não é zero em todas as posições.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo porque seu rotacional é
, que não é zero em todo o espaço.
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Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem.
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e