integral x raizx^2+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a integral integral x raizx^2+5 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para resolver integrais mais complicadas transformando-as em formas mais simples. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão x raizx^2+5, notamos que dentro da raiz temos x^2 + 5. Então, vamos definir:
u = x^2 + 5
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados da equação u = x^2 + 5, temos:
dudx = 2x
Ou seja:
du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2
Vamos usar essa expressão para substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original:
integral x raizx^2+5 , dx = integral raizu cdot du2
Podemos simplificar a constante fora da integral:
12 integral raizu , du

Passo 5

Agora, vamos integrar raizu em relação a u. Sabemos que:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Aplicando isso na nossa integral:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original x substituindo u = x^2 + 5:
13 (x^2 + 5)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x raizx^2+5 , dx é igual a:
13 (x^2 + 5)^3/2 + C

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