integral d xx^2+3 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar a fórmula da integral da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 3x + 5 = (x^2 + 3x + (32)^2) - (32)^2 + 5 = (x + 32)^2 + 114 . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Agora que temos o denominador na forma integral dxx^2 + a^2 = 1a arctan(xa) + C , podemos usar a fórmula da integral:
Aqui, , então .

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa integral, temos:
integral dx(x + 32)^2 + (raiz112)^2 = 2raiz11 arctan(2(x + 32)raiz11) + C

Passo 5

Simplificando um pouco mais, podemos distribuir o 2 dentro do arco-tangente:
2raiz11 arctan(2x + 3raiz11) + C

Resposta

A integral é igual a .

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