Considere o campo vetorial
F(x, y)=(xx^2+y^2, yx^2+y^2)
Calcule ointC F cdot d r, onde C é qualquer curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para calcular a integral de linha F(x, y) = (xx^2+y^2, yx^2+y^2) , onde o campo vetorial é definido por
e é uma curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem. Vamos utilizar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde e é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos identificar P = xx^2+y^2 e Q = yx^2+y^2 e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( yx^2+y^2 ) = 0 cdot (x^2+y^2) - y cdot 2x(x^2+y^2)^2 = -2xy (x^2+y^2)^2 :

Passo 5

Calculando partial Ppartial y = partialpartial y ( xx^2+y^2 ) = 0 cdot (x^2+y^2) - x cdot 2y(x^2+y^2)^2 = -2xy (x^2+y^2)^2 :

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2xy (x^2+y^2)^2 - ( -2xy (x^2+y^2)^2 ) = 0

Passo 7

Como a diferença das derivadas é zero, a integral dupla sobre a região integral duplaD 0 , dx,dy = 0 também será zero:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha é zero.

Resposta

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