Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é definido por
e é uma curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem. Vamos utilizar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
onde e é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 7

Como a diferença das derivadas é zero, a integral dupla sobre a região também será zero:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha é zero.

Resposta

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a)