Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é definido por
e
é uma curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem. Vamos utilizar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O teorema diz que:
onde
e
é a região delimitada pela curva
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 7
Como a diferença das derivadas é zero, a integral dupla sobre a região
também será zero:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha é zero.
Resposta
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e
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.
a)
a)