Valor (2,0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sẵo subespaços do espaço fetorial V. Justifique sua resposta
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Isso envolve entender o que é um subespaço e quais condições ele precisa atender. Vamos precisar lembrar das propriedades de um subespaço e verificar cada uma delas para o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o conjunto
não está vazio. De acordo com a definição de subespaço, o conjunto precisa conter o vetor zero. Vamos ver se o vetor zero está em
.
O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Então, o vetor zero está em
. Tá tranquilo nessa parte!
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores em
. Então, temos:
Somando
.
Vamos verificar a condição
para
:
Então,
também satisfaz
e está em
. Aí está fechado sob adição!
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar real. Então, temos:
Multiplicando
por
:
Verificamos a condição
para
:
Portanto,
também satisfaz
e está em
. Então,
é fechado sob multiplicação por escalar!
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer curva fechada simples orientada no sentido antihorário que envolve a origem.
O campo vetorial
é conservativo? Por quê ou por que não?
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
a)
a)
Sejam
e
. Mostre que