Valor (2,0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sẵo subespaços do espaço fetorial V. Justifique sua resposta
V = R^3 e W = {(x, y, z) em V | x + y = 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Isso envolve entender o que é um subespaço e quais condições ele precisa atender. Vamos precisar lembrar das propriedades de um subespaço e verificar cada uma delas para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o conjunto não está vazio. De acordo com a definição de subespaço, o conjunto precisa conter o vetor zero. Vamos ver se o vetor zero está em .
O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Então, o vetor zero está em . Tá tranquilo nessa parte!

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . Então, temos:
Somando .
Vamos verificar a condição para :
Então, também satisfaz e está em . Aí está fechado sob adição!

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar real. Então, temos:
Multiplicando por :
Verificamos a condição para :
Portanto, também satisfaz e está em . Então, é fechado sob multiplicação por escalar!

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados