Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: {raiz(2^n + 1)}/{n}

Passo 1

Beleza, então temos que analisar se a sequência {raiz(2^n + 1)}/{n} converge ou diverge. Isso envolve entender conceitos de limites e comportamento assintótico de funções, que nos ajudam a determinar para onde a sequência está indo quando cresce sem parar. Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da sequência para facilitar a análise:
Quando é muito grande, o termo domina o , então podemos aproximar:
Então, a sequência fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
Aqui, temos uma exponencial no numerador ( ) e uma função linear no denominador ( ). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares à medida que aumenta.

Passo 4

Para confirmar isso, vamos reescrever como . Assim, a expressão fica:
Como , cresce exponencialmente, enquanto cresce apenas linearmente. Portanto, o numerador vai para infinito muito mais rápido que o denominador.

Passo 5

Dessa forma, o limite da sequência é infinito, o que significa que a sequência não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A sequência {raiz(2^n + 1)}/{n} diverge para o infinito.

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