Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, então temos que analisar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve entender conceitos de limites e comportamento assintótico de funções, que nos ajudam a determinar para onde a sequência está indo quando
cresce sem parar. Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da sequência para facilitar a análise:
Quando
é muito grande, o termo
domina o
, então podemos aproximar:
Então, a sequência fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Aqui, temos uma exponencial no numerador (
) e uma função linear no denominador (
). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares à medida que
aumenta.
Passo 4
Para confirmar isso, vamos reescrever
como
. Assim, a expressão fica:
Como
,
cresce exponencialmente, enquanto
cresce apenas linearmente. Portanto, o numerador vai para infinito muito mais rápido que o denominador.
Passo 5
Dessa forma, o limite da sequência é infinito, o que significa que a sequência não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A sequência
diverge para o infinito.
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