Para um campo vetorial
, calcule o fluxo através de um cubo de aresta
, com centro na origem, por dois meios diferentes: diretamente; através do teorema de Gauss. Faça o mesmo para um campo vetorial do tipo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo de dois campos vetoriais diferentes através de um cubo de aresta
, centrado na origem. Vamos usar duas abordagens: diretamente e pelo Teorema de Gauss. Os campos vetoriais são
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quantas “linhas de campo” passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o campo vetorial e
é o vetor área.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo diretamente para o campo
. Como o cubo tem faces perpendicular aos eixos coordenados, vamos calcular o fluxo em cada face e somar.
Passo 4
As faces do cubo são:
-
e -
e -
e
Como
só tem componente na direção
, o fluxo pelas faces
e
será zero, pois
é perpendicular a essas faces.
Passo 5
Vamos calcular o fluxo nas faces
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Somando os fluxos das duas faces:
Passo 7
Agora, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume:
Primeiro, calculamos a divergência de
.
Passo 8
Para
:
Passo 9
Integrando a divergência sobre o volume do cubo:
Passo 10
Agora, vamos calcular o fluxo para o segundo campo vetorial
, novamente usando as duas abordagens.
Passo 11
Primeiro, façamos o cálculo direto do fluxo. Como
também só tem componente na direção
, o fluxo pelas faces
e
será zero.
Passo 12
Vamos calcular o fluxo nas faces
e
.
Para
:
Para
:
Passo 13
Somando os fluxos das duas faces:
Passo 14
Agora, usando o Teorema de Gauss. Primeiro, calculamos a divergência de
.
Passo 15
Para
:
Passo 16
Integrando a divergência sobre o volume do cubo:
Resposta
O fluxo do campo
através do cubo de aresta
centrado na origem é
tanto pela abordagem direta quanto pelo Teorema de Gauss.