Para um campo vetorial A(r)=sin (x / a) x, calcule o fluxo através de um cubo de aresta 2 a, com centro na origem, por dois meios diferentes: diretamente; através do teorema de Gauss. Faça o mesmo para um campo vetorial do tipo B(r)=x^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo de dois campos vetoriais diferentes através de um cubo de aresta , centrado na origem. Vamos usar duas abordagens: diretamente e pelo Teorema de Gauss. Os campos vetoriais são e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quantas “linhas de campo” passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Phi = integral duplaS F cdot dS
Onde é o campo vetorial e é o vetor área.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo diretamente para o campo . Como o cubo tem faces perpendicular aos eixos coordenados, vamos calcular o fluxo em cada face e somar.

Passo 4

As faces do cubo são:
  1. e
  2. e
  3. e
Como só tem componente na direção , o fluxo pelas faces e será zero, pois é perpendicular a essas faces.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo nas faces A = sin(aa) x = sin(1) x e dS = x , dy , dz .
Para Phix=a = integral dupla sin(1) , dy , dz = sin(1) times (2a) times (2a) = 4a^2 sin(1) :
A = sin(-aa) x = sin(-1) x = -sin(1) x
dS = -x , dy , dz
Phix=-a = integral dupla (-sin(1)) times (-1) , dy , dz = sin(1) times 4a^2 = 4a^2 sin(1)
Para :

Passo 6

Somando os fluxos das duas faces:
Phitotal = 4a^2 sin(1) + 4a^2 sin(1) = 8a^2 sin(1)

Passo 7

Agora, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume:
Phi = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Primeiro, calculamos a divergência de .

Passo 8

Para nabla cdot A = partialpartial x sin(xa) + partialpartial y 0 + partialpartial z 0 = 1a cos(xa) :

Passo 9

Integrando a divergência sobre o volume do cubo:
Phi = integral tripla-a^a 1a cos(xa) , dx , dy , dz
= 1a ( integral-a^a cos(xa) dx ) times ( integral-a^a dy ) times ( integral-a^a dz )
= 1a ( a [ sin(xa) ]-a^a ) times (2a) times (2a)
= 1a ( a(sin(1) - (-sin(1))) ) times 4a^2
= 2 sin(1) times 4a^2 = 8a^2 sin(1)

Passo 10

Agora, vamos calcular o fluxo para o segundo campo vetorial , novamente usando as duas abordagens.

Passo 11

Primeiro, façamos o cálculo direto do fluxo. Como também só tem componente na direção , o fluxo pelas faces e será zero.

Passo 12

Vamos calcular o fluxo nas faces B = a^2 x e dS = x , dy , dz .
Para Phix=a = integral dupla a^2 , dy , dz = a^2 times (2a) times (2a) = 4a^4 :
B = (-a)^2 x = a^2 x
dS = -x , dy , dz
Phix=-a = integral dupla a^2 times (-1) , dy , dz = -a^2 times 4a^2 = -4a^4
Para :

Passo 13

Somando os fluxos das duas faces:
Phitotal = 4a^4 - 4a^4 = 0

Passo 14

Agora, usando o Teorema de Gauss. Primeiro, calculamos a divergência de .

Passo 15

Para nabla cdot B = partialpartial x x^2 + partialpartial y 0 + partialpartial z 0 = 2x :

Passo 16

Integrando a divergência sobre o volume do cubo:
Phi = integral tripla-a^a 2x , dx , dy , dz
= 2 ( integral-a^a x , dx ) times ( integral-a^a dy ) times ( integral-a^a dz )
= 2 [ x^22 ]-a^a times (2a) times (2a)
= 2 ( a^22 - a^22 ) times 4a^2 = 0

Resposta

O fluxo do campo através do cubo de aresta centrado na origem é tanto pela abordagem direta quanto pelo Teorema de Gauss.

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