Considere a seguinte trajetória:
r(t)=x cos (t)+y sin (t)+t z,-infty
e os seguintes itens:
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma trajetória representada pelo vetor posição:
r(t) = x cos(t) + y sin(t) + t z, -infty < t < infty
Essa trajetória está no espaço tridimensional e envolve coordenadas cartesianas e cilíndricas. Vamos precisar entender como desenhar essa trajetória, trabalhar com os sistemas de coordenadas diferentes e calcular o vetor velocidade nesses sistemas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a trajetória no sistema de coordenadas cartesianas. A expressão para r(t) nos diz que, para cada valor de t, as componentes em x, y e z são dadas por cos(t), sin(t) e t, respectivamente.
Isso significa que, no plano xy, o movimento segue um círculo unitário (porque cos^2(t) + sin^2(t) = 1), enquanto no eixo z, a posição aumenta linearmente com t. Então, a trajetória é uma hélice circular ascendente.
Vamos desenhar isso em três posições diferentes de t:
  1. Para t = 0:
    • cos(0) = 1, sin(0) = 0, z = 0.
    • Vetor posição: (1, 0, 0).
    • Desenhe os versores x, y, z nesse ponto.
  2. Para t = pi2:
    • cos(pi2) = 0, sin(pi2) = 1, z = pi2.
    • Vetor posição: (0, 1, pi2).
    • Desenhe os versores nesse novo ponto.
  3. Para t = pi:
    • cos(pi) = -1, sin(pi) = 0, z = pi.
    • Vetor posição: (-1, 0, pi).
    • Desenhe os versores nesse ponto.
Assim, teremos três pontos diferentes na hélice com seus respectivos versores cartesianos.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo desenhando os versores no sistema de coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são (rho, phi, z), onde:
  • rho é a distância ao eixo z,
  • phi é o ângulo no plano xy,
  • z é a mesma coordenada z do sistema cartesiano.
Os versores cilíndricos são rho, phi e z. Vamos representar esses versores nos mesmos três pontos que usamos antes.
Será que os versores cilíndricos são os mesmos em toda a trajetória?
Não, eles não são os mesmos. Isso porque rho e phi dependem do ��ngulo phi, que muda com o tempo t. Portanto, à medida que a hélice avança, os versores cilíndricos giram no plano xy, acompanhando o movimento circular.

Passo 4

Vamos escrever o vetor posição r(t) no sistema de coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
r(t) = rho rho + z z
Comparando com a expressão dada:
r(t) = cos(t) x + sin(t) y + t z
Vemos que rho = 1 (já que cos^2(t) + sin^2(t) = 1) e z = t. Além disso, o ângulo phi no sistema cilíndrico é igual a t.
Então, no sistema cilíndrico:
r(t) = 1 cdot rho + t cdot z
A dependência temporal dos senos e cossenos está associada ao ângulo phi = t. Portanto, o tempo influencia diretamente a direção dos versores rho e phi.

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor velocidade v(t) nos dois sistemas de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
No sistema cartesiano:
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo t.
v(t) = dr(t)dt = -sin(t) x + cos(t) y + z
No sistema cilíndrico:
No sistema cilíndrico, a velocidade é dada por:
v(t) = drhodt rho + rho dphidt phi + dzdt z
Substituindo os valores:
  • rho = 1 Rightarrow drhodt = 0
  • phi = t Rightarrow dphidt = 1
  • z = t Rightarrow dzdt = 1
Então,
v(t) = 0 cdot rho + 1 cdot phi + 1 cdot z = phi + z

Resposta

A trajetória é uma hélice circular ascendente descrita por r(t) = cos(t) x + sin(t) y + t z. Os versores cartesianos variam conforme t, enquanto os versores cilíndricos giram acompanhando o ângulo phi = t. O vetor posição no sistema cilíndrico é r(t) = rho + t z, com a dependência temporal ligada ao ângulo phi. Os vetores velocidade são v(t) = -sin(t) x + cos(t) y + z no sistema cartesiano e v(t) = phi + z no sistema cilíndrico.

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