Considere a seguinte trajetória:
e os seguintes itens:
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma trajetória representada pelo vetor posição:
Essa trajetória está no espaço tridimensional e envolve coordenadas cartesianas e cilíndricas. Vamos precisar entender como desenhar essa trajetória, trabalhar com os sistemas de coordenadas diferentes e calcular o vetor velocidade nesses sistemas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a trajetória no sistema de coordenadas cartesianas. A expressão para
nos diz que, para cada valor de
, as componentes em
,
e
são dadas por
,
e
, respectivamente.
Isso significa que, no plano
, o movimento segue um círculo unitário (porque
), enquanto no eixo
, a posição aumenta linearmente com
. Então, a trajetória é uma hélice circular ascendente.
Vamos desenhar isso em três posições diferentes de
:
-
Para
: -
, , . - Vetor posição:
. - Desenhe os versores
, , nesse ponto.
-
-
Para
: -
, , . - Vetor posição:
. - Desenhe os versores nesse novo ponto.
-
-
Para
: -
, , . - Vetor posição:
. - Desenhe os versores nesse ponto.
-
Assim, teremos três pontos diferentes na hélice com seus respectivos versores cartesianos.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo desenhando os versores no sistema de coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são
, onde:
-
é a distância ao eixo , -
é o ângulo no plano , -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
Os versores cilíndricos são
,
e
. Vamos representar esses versores nos mesmos três pontos que usamos antes.
Será que os versores cilíndricos são os mesmos em toda a trajetória?
Não, eles não são os mesmos. Isso porque
e
dependem do ��ngulo
, que muda com o tempo
. Portanto, à medida que a hélice avança, os versores cilíndricos giram no plano
, acompanhando o movimento circular.
Passo 4
Vamos escrever o vetor posição
no sistema de coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Comparando com a expressão dada:
Vemos que
(já que
) e
. Além disso, o ângulo
no sistema cilíndrico é igual a
.
Então, no sistema cilíndrico:
A dependência temporal dos senos e cossenos está associada ao ângulo
. Portanto, o tempo influencia diretamente a direção dos versores
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o vetor velocidade
nos dois sistemas de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
No sistema cartesiano:
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo
.
No sistema cilíndrico:
No sistema cilíndrico, a velocidade é dada por:
Substituindo os valores:
Então,
Resposta
A trajetória é uma hélice circular ascendente descrita por
. Os versores cartesianos variam conforme
, enquanto os versores cilíndricos giram acompanhando o ângulo
. O vetor posição no sistema cilíndrico é
, com a dependência temporal ligada ao ângulo
. Os vetores velocidade são
no sistema cartesiano e
no sistema cilíndrico.