Considere uma colisão unidimensional entre objetos de massa
e
, com
em repouso e
com velocidade inicial não-nula. Encontre as velocidades após a colisão de ambos os objetos. Mostre o que acontece nos casos especiais de massas iguais, alvo pesado e projétil pesado.
Passo 1
Vamos resolver um problema de colisão unidimensional entre dois objetos. Temos dois corpos com massas
e
, onde o objeto
está inicialmente em repouso e o objeto
tem uma velocidade inicial não nula. Nosso objetivo é encontrar as velocidades de ambos os objetos após a colisão. Além disso, vamos analisar casos especiais como massas iguais, alvo pesado e projétil pesado. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento e, se a colisão for elástica, também a conservação da energia cinética.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, em uma colisão, a quantidade de movimento total do sistema é conservada, ou seja, antes e depois da colisão a soma das quantidades de movimento dos objetos permanece a mesma. A quantidade de movimento é dada por
, onde
é a massa e
é a velocidade.
Passo 3
Vamos supor que a colisão seja completamente elástica, o que significa que além da quantidade de movimento, a energia cinética total também é conservada. Assim, temos duas equações:
-
Conservação da quantidade de movimento:
-
Conservação da energia cinética:
Como o objeto
está em repouso inicialmente,
. Simplificando as equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
. A partir da primeira equação:
Podemos isolar
:
Substituindo isso na segunda equação:
Simplificando e resolvendo para
, obtemos:
E substituindo
de volta na expressão para
:
Passo 5
Agora temos as fórmulas gerais para as velocidades após a colisão:
Vamos analisar os casos especiais:
-
Massas iguais (
): Substituindo: Interpretação: O primeiro objeto para e o segundo objeto passa a mover-se com a velocidade inicial do primeiro. -
Alvo pesado (
): Quandoé muito maior que : Interpretação: O projétil inverte sua direção e praticamente não transfere velocidade para o alvo. -
Projétil pesado (
): Quandoé muito maior que : Interpretação: O projétil continua com quase a mesma velocidade e o alvo adquire o dobro da velocidade inicial do projétil.
Resposta
Após a colisão, as velocidades finais são:
Nos casos especiais:
- Massas iguais:
, - Alvo pesado:
, - Projétil pesado:
,
Exercícios relacionados
Um objeto celeste de massa
encontra-se a mesma distância
de dois objetos fixos de massas iguais
e que se encontram a uma distância
um do outro. O objeto de massa
interage com os de massa
gravitacionalmente apenas. Se o objeto de massa
é solto do repouso, qual sua trajetória? Em que ponto dessa trajetória sua velocidade é máxima e qual é essa velocidade? Que movimento este objeto descreve? Observação: Uma força do tipo
tem energia potencial
, onde
é uma constante.
Verifique que o seguinte campo vetorial
é irrotacional, isto é, possui
. Encontre um possível campo escalar
de maneira que
Verifique que o seguinte campo
é solenoidal, isto é, possui divergente nulo. Mostre que o campo
pode ser escrito como o rotacional de um campo vetorial do tipo
para algum campo escalar
. Escreva um possível
.
Considere a seguinte trajetória:
e os seguintes itens:
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
Para um campo vetorial
, calcule o fluxo através de um cubo de aresta
, com centro na origem, por dois meios diferentes: diretamente; através do teorema de Gauss. Faça o mesmo para um campo vetorial do tipo
.