Considere uma colisão unidimensional entre objetos de massa m1 e m2, com m2 em repouso e m1 com velocidade inicial não-nula. Encontre as velocidades após a colisão de ambos os objetos. Mostre o que acontece nos casos especiais de massas iguais, alvo pesado e projétil pesado.

Passo 1

Vamos resolver um problema de colisão unidimensional entre dois objetos. Temos dois corpos com massas m1 e m2, onde o objeto m2 está inicialmente em repouso e o objeto m1 tem uma velocidade inicial não nula. Nosso objetivo é encontrar as velocidades de ambos os objetos após a colisão. Além disso, vamos analisar casos especiais como massas iguais, alvo pesado e projétil pesado. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento e, se a colisão for elástica, também a conservação da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, em uma colisão, a quantidade de movimento total do sistema é conservada, ou seja, antes e depois da colisão a soma das quantidades de movimento dos objetos permanece a mesma. A quantidade de movimento é dada por p = m cdot v, onde m é a massa e v é a velocidade.

Passo 3

Vamos supor que a colisão seja completamente elástica, o que significa que além da quantidade de movimento, a energia cinética total também é conservada. Assim, temos duas equações:
  1. Conservação da quantidade de movimento:
    m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
  2. Conservação da energia cinética:
    12m1v1i^2 + 12m2v2i^2 = 12m1v1f^2 + 12m2v2f^2
Como o objeto m2 está em repouso inicialmente, v2i = 0. Simplificando as equações:
  1. m1v1i = m1v1f + m2v2f
  2. 12m1v1i^2 = 12m1v1f^2 + 12m2v2f^2

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar v1f e v2f. A partir da primeira equação:
m1v1i = m1v1f + m2v2f
Podemos isolar v1f:
v1f = v1i - m2m1v2f
Substituindo isso na segunda equação:
12m1v1i^2 = 12m1(v1i - m2m1v2f)^2 + 12m2v2f^2
Simplificando e resolvendo para v2f, obtemos:
v2f = 2m1m1 + m2v1i
E substituindo v2f de volta na expressão para v1f:
v1f = m1 - m2m1 + m2v1i

Passo 5

Agora temos as fórmulas gerais para as velocidades após a colisão:
v1f = m1 - m2m1 + m2v1i
v2f = 2m1m1 + m2v1i
Vamos analisar os casos especiais:
  1. Massas iguais ( m1 = m2):
    Substituindo m1 = m2 = m:
    v1f = m - mm + mv1i = 0
    v2f = 2mm + mv1i = v1i
    Interpretação: O primeiro objeto para e o segundo objeto passa a mover-se com a velocidade inicial do primeiro.
  2. Alvo pesado ( m2 gg m1):
    Quando m2 é muito maior que m1:
    v1f approx m1 - m2m2v1i approx -v1i
    v2f approx 2m1m2v1i approx 0
    Interpretação: O projétil inverte sua direção e praticamente não transfere velocidade para o alvo.
  3. Projétil pesado ( m1 gg m2):
    Quando m1 é muito maior que m2:
    v1f approx m1m1v1i = v1i
    v2f approx 2m1m1v1i = 2v1i
    Interpretação: O projétil continua com quase a mesma velocidade e o alvo adquire o dobro da velocidade inicial do projétil.

Resposta

Após a colisão, as velocidades finais são:
v1f = m1 - m2m1 + m2v1i
v2f = 2m1m1 + m2v1i
Nos casos especiais:
  • Massas iguais: v1f = 0, v2f = v1i
  • Alvo pesado: v1f approx -v1i, v2f approx 0
  • Projétil pesado: v1f approx v1i, v2f approx 2v1i

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