Considere o campo vetorial e uma superfície que é o hemisfério superior da esfera de raio centrada na origem, com a base no plano . Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de através da superfície fechada formada por e o disco plano na base do hemisfério.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada formada por um hemisfério superior de raio e o disco na base desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matemáticamente, para , a divergência é dada por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume dentro dessa superfície. Ou seja:
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 2 centrada na origem, faz sentido usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 4

Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo as expressões de e na divergência:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em :
Em seguida, integrando em :
Por fim, integrando em :

Resposta

O fluxo de através da superfície fechada é .

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