Considere o campo vetorial
e uma superfície
que é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem, com a base no plano
. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície fechada formada por
e o disco plano na base do hemisfério.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada formada por um hemisfério superior de raio
e o disco na base desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matemáticamente, para
, a divergência é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume dentro dessa superfície. Ou seja:
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 2 centrada na origem, faz sentido usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 4
Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo as expressões de
e
na divergência:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em
:
Em seguida, integrando em
:
Por fim, integrando em
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície fechada é
.
Exercícios relacionados
Para um campo vetorial
, calcule a integral de volume de
em uma esfera de raio
metros centrada na origem. Use o Teorema de Gauss para relacionar o resultado obtido com o fluxo de
na superfície da esfera.
Dado o campo vetorial
, use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de
ao longo de uma curva circular
de raio
centrada na origem no plano
. Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de
.
Seja
, um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de
e, em seguida, determine a integral de volume de
sobre uma esfera de raio
centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de
sobre a região
delimitada pelo cilindro de raio
e altura
, com base no plano
e topo no plano
. Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.