Considere o campo vetorial F=(x^2-y^2) i+2 x y j+z^2 k e uma superfície S que é o hemisfério superior da esfera de raio R=2 centrada na origem, com a base no plano z=0. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de F através da superfície fechada formada por S e o disco plano na base do hemisfério.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial F = (x^2-y^2) i + 2xy j + z^2 k através de uma superfície fechada formada por um hemisfério superior de raio R=2 e o disco na base desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial F. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matemáticamente, para F = P i + Q j + R k, a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso F:
nabla cdot F = partial (x^2-y^2)partial x + partial (2xy)partial y + partial (z^2)partial z = 2x + 2x + 2z = 4x + 2z

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume dentro dessa superfície. Ou seja:
Fluxo = integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV (4x + 2z) , dV
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 2 centrada na origem, faz sentido usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 4

Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Substituindo as expressões de x e z na divergência:
4x + 2z = 4rho sinphi costheta + 2rho cosphi
Então, a integral fica:
Fluxo = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^2 (4rho sinphi costheta + 2rho cosphi) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em rho:
integral0^2 (4rho sinphi costheta + 2rho cosphi) rho^2 , drho = integral0^2 (4rho^3 sinphi costheta + 2rho^3 cosphi) , drho = [ rho^4 sinphi costheta + rho^42 cosphi ]0^2 = 16 sinphi costheta + 8 cosphi
Em seguida, integrando em phi:
integral0^pi2 (16 sin^2phi costheta + 8 sinphi cosphi ) dphi = 16 costheta [pi4] + 8 [12] = 4pi costheta + 4
Por fim, integrando em theta:
integral0^2pi (4pi costheta + 4) dtheta = 4pi [ sintheta ]0^2pi + 4 [ theta ]0^2pi = 0 + 8pi = 8pi

Resposta

O fluxo de F através da superfície fechada é 8pi.

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