Considere o campo vetorial
e uma superfície
que é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem, com a base no plano
. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície fechada formada por
e o disco plano na base do hemisfério.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada formada por um hemisfério superior de raio
e o disco na base desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matemáticamente, para
, a divergência é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume dentro dessa superfície. Ou seja:
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 2 centrada na origem, faz sentido usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 4
Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo as expressões de
e
na divergência:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em
:
Em seguida, integrando em
:
Por fim, integrando em
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície fechada é
.