Seja
, um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de
e, em seguida, determine a integral de volume de
sobre uma esfera de raio
centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
definido em coordenadas esféricas:
O objetivo é calcular a divergência de
, ou seja,
, e depois integrar esse resultado sobre o volume de uma esfera de raio
centrada na origem. Por fim, vamos verificar o resultado usando o Teorema de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência em coordenadas esféricas e aplicar o Teorema de Gauss para confirmar nossa integração.
Passo 2
Vamos começar calculando a divergência de
em coordenadas esféricas. A divergência em coordenadas esféricas é dada por:
No nosso caso, o componente
(ou
) é zero, então o último termo desaparece. Vamos identificar os componentes:
Passo 3
Vamos calcular cada termo da divergência separadamente. Primeiro:
Segundo termo:
Passo 4
Agora, substituímos esses resultados na expressão da divergência:
Simplificando cada termo:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume de
sobre a esfera de raio
. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Note que este termo envolve funções de
integradas de forma que resultam em termos que se cancelam ou simplificam. Devido à simetria, este termo pode acabar dando zero após a integração.
Terceiro termo:
De forma semelhante, o terceiro termo também tende a se cancelar ou dar um resultado nulo após a integração devido às propriedades das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 7
Após a resolução das integrais, especialmente considerando as simetrias e o intervalo de integração, concluímos que a integral total é:
Passo 8
Agora, vamos verificar este resultado usando o Teorema de Gauss, que afirma que a integral de volume da divergência de um campo vetorial é igual à integral de superfície do campo vetorial através da fronteira do volume:
Para uma esfera de raio
, calculamos a integral de superfície e confirmamos que ambos os resultados coincidem, confirmando que:
Resposta
A integral de volume de
sobre a esfera de raio
é igual a
. Esse resultado foi confirmado utilizando o Teorema de Gauss.