Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f?
Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício juntos! A pergunta é: Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f? E o campo dado é
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que existe uma função
tal que:
Então, para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas. O primeiro componente de
é
. A derivada parcial de
em relação a
é:
O segundo componente de
é
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda componente para encontrar
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
Sim, o campo é conservativo. A função escalar
é:
onde
é uma constante qualquer.
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Ex DeTERMINAR Rot
No parabolóide
, calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro
.
(3,0 pontos) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a solução de
para
e
com precisão de
.
BOM TRABALHO!
BOM TRABALHO!