Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f?

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício juntos! A pergunta é: Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f? E o campo dado é . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar . Isso significa que existe uma função tal que:
Então, para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas. O primeiro componente de é . A derivada parcial de em relação a é:
O segundo componente de é . A derivada parcial de em relação a é:
Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda componente para encontrar . Sabemos que:
Derivando em relação a :
Igualando às duas expressões:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

Sim, o campo é conservativo. A função escalar é:
onde é uma constante qualquer.

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Ex DeTERMINAR Rot
No parabolóide , calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro .
éíâá
(3,0 pontos) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a solução de para e com precisão de .
BOM TRABALHO!