Quais dos campos vetoriais abaixo podem representar campos magnéticos? Para cada um destes, determine a densidade de corrente J.
a) A(x, y, z)=A1 x^2 z x+A2 y-A1 x z^2 z
b) B(x, y, z)=B1 x y^2 x+B2 x^2 y^-1 y+3 B3 z
c) C(x, y, z)=C0(e^x / y x+e^y / z y+e^z / x z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para a gente verificar quais dos campos vetoriais apresentados podem representar campos magnéticos. Além disso, para cada um que for válido, precisamos determinar a densidade de corrente J associada.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos da física dos campos magnéticos. Primeiro, sabemos que campos magnéticos devem satisfazer a condição de que sua divergência é zero, ou seja, nabla cdot B = 0. Isso vem da Lei de Gauss para o magnetismo, que nos diz que não existem monopolos magnéticos.
Depois, para encontrar a densidade de corrente J, usamos a Lei de Ampère, que relaciona o rotacional do campo magnético com a corrente elétrica presente: nabla times B = mu0 J, onde mu0 é a permeabilidade do vácuo.
Vamos analisar cada um dos campos vetoriais fornecidos:

Passo 2

Parte a)
Temos o campo vetorial:
A(x, y, z) = A1 x^2 z , x + A2 , y - A1 x z^2 , z
Primeiro, vamos verificar se esse campo satisfaz nabla cdot A = 0.
Calculando a divergência:
nabla cdot A = partialpartial x(A1 x^2 z) + partialpartial y(A2) + partialpartial z(-A1 x z^2)
= 2A1 x z + 0 - 2A1 x z = 0
Como a divergência é zero, esse campo pode representar um campo magnético.
Agora, vamos encontrar a densidade de corrente J usando a Lei de Ampère:
nabla times A = mu0 J
Calculando o rotacional:
nabla times A = x & y & z partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z A1 x^2 z & A2 & -A1 x z^2
= ( partialpartial y(-A1 x z^2) - partialpartial z(A2) ) x - ( partialpartial x(-A1 x z^2) - partialpartial z(A1 x^2 z) ) y + ( partialpartial x(A2) - partialpartial y(A1 x^2 z) ) z
= (0 - 0) x - (-A1 z^2 - A1 x^2) y + (0 - 0) z
= ( A1 z^2 + A1 x^2 ) y
Então,
mu0 J = A1 (x^2 + z^2) y
J = A1mu0 (x^2 + z^2) y

Passo 3

Parte b)
Agora, vamos analisar o campo vetorial:
B(x, y, z) = B1 x y^2 , x + B2 x^2 y^-1 , y + 3 B3 , z
Primeiro, verificamos se nabla cdot B = 0.
Calculando a divergência:
nabla cdot B = partialpartial x(B1 x y^2) + partialpartial y(B2 x^2 y^-1) + partialpartial z(3 B3)
= B1 y^2 + B2 x^2 (-y^-2) + 0
= B1 y^2 - B2 x^2y^2
Para que nabla cdot B = 0, precisamos que B1 y^2 - B2 x^2y^2 = 0 para todos os valores de x e y. Isso só é possível se B1 = B2 = 0, o que trivializa o campo.
Portanto, esse campo não pode representar um campo magnético não trivial.

Passo 4

Parte c)
Vamos agora considerar o campo vetorial:
C(x, y, z) = C0(e^x / y , x + e^y / z , y + e^z / x , z)
Primeiro, verificamos se nabla cdot C = 0.
Calculando a divergência:
nabla cdot C = C0 ( partialpartial x e^x / y + partialpartial y e^y / z + partialpartial z e^z / x )
= C0 ( 1y e^x / y + 1z e^y / z + 1x e^z / x )
Essa expressão não é, em geral, igual a zero para todos os x, y, z. Portanto, nabla cdot C neq 0, o que significa que esse campo não pode representar um campo magnético.

Resposta

Apenas o campo vetorial (a) pode representar um campo magnético. A densidade de corrente associada é:
J = A1mu0 (x^2 + z^2) , y

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