Quais dos campos vetoriais abaixo podem representar campos magnéticos? Para cada um destes, determine a densidade de corrente .
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para a gente verificar quais dos campos vetoriais apresentados podem representar campos magnéticos. Além disso, para cada um que for válido, precisamos determinar a densidade de corrente associada.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos da física dos campos magnéticos. Primeiro, sabemos que campos magnéticos devem satisfazer a condição de que sua divergência é zero, ou seja, . Isso vem da Lei de Gauss para o magnetismo, que nos diz que não existem monopolos magnéticos.
Depois, para encontrar a densidade de corrente , usamos a Lei de Ampère, que relaciona o rotacional do campo magnético com a corrente elétrica presente: , onde é a permeabilidade do vácuo.
Vamos analisar cada um dos campos vetoriais fornecidos:

Passo 2

Parte a)
Temos o campo vetorial:
Primeiro, vamos verificar se esse campo satisfaz .
Calculando a divergência:
Como a divergência é zero, esse campo pode representar um campo magnético.
Agora, vamos encontrar a densidade de corrente usando a Lei de Ampère:
Calculando o rotacional:
Então,

Passo 3

Parte b)
Agora, vamos analisar o campo vetorial:
Primeiro, verificamos se .
Calculando a divergência:
Para que , precisamos que para todos os valores de e . Isso só é possível se , o que trivializa o campo.
Portanto, esse campo não pode representar um campo magnético não trivial.

Passo 4

Parte c)
Vamos agora considerar o campo vetorial:
Primeiro, verificamos se .
Calculando a divergência:
Essa expressão não é, em geral, igual a zero para todos os , , . Portanto, , o que significa que esse campo não pode representar um campo magnético.

Resposta

Apenas o campo vetorial (a) pode representar um campo magnético. A densidade de corrente associada é:

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